Роман, павел и сергей на компьютере вместе набрали 3700 очков. сколько очков набрал роман, если павел отстал от него на 2500 очков, а сергей превзошел его в 2 раза ?

Обозначим как Р- число очков у Романа, С - у Сергея, П- у  Павла.

П=Р-2500
С=Р*2
П+С+Р=3700⇒Р-2500+2*Р+Р=3700⇒4*Р-2500=3700⇒Р=1550. Тогда С=2*1550=3100. П=1800-2500=-950 очков (видимо, потерял 950 очков).

ответ: у Романа 1550 очков, у Сергея 3100 очков, у Петра минус 950 очков.

Используется деление многочлена на многочлен углом.
1)То что данный многочлен делится без остатка на  (х-1) означает, что в частном многочлен второй степени  и
х³+ax²+bx+c=(x-1)(x²+(a+1)x +(b+a+1))
и остаток от деления равен 0 ( см. приложение)
с+b+a+1=0  (*)

2) Многочлен делится без остатка на  (х+2), значит
х³+ax²+bx+c=(x+2)(x²+(a-2)x +(b-2a+4)
 и остаток от деления равен 0
с-2b+4a-8=0  (**)
многочлен при делении  на  (х+1) дает в остатке 10, значит
х³+ax²+bx+c=(x+1)(x²+(a-1)x+(b-a+1) +10
остаток от деления
с-b+a-1=10  (***)

Решаем систему трех уравнений (*) (**) (***)
Решение см. в приложении
Складываем (*)  и (***) получим
2a+2c =10 ⇒   a+c =5  или  с= 5 - a
Вычитаем из (*)уравнение (***)
2b+2= -10 ⇒ 2b=-12  ⇒ b=-6
Подставим  b =-6  и  c=5-a    в (**)
5-a+12+4a-8=0
3a+9=0  ⇒a=-3
Итак,
 а=-3, b=-6, с=8
сумма a+b+c= -3 - 6 + 8 = -1

Для решения нужно знать некоторые теоремы:
1) любая высота в равностороннем треугольнике является биссектрисой и медианой этого треугольника, а также серединным перпендикуляром  к соответствующей стороне этого треугольника.
2) теорема Пифагора.
3) медианы любого треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
Пусть сторона данного треугольника a=(V3).
Проведем какую-либо высоту в данном треугольнике, эта высота является медианой, поэтому делит сторону, к которой проведена пополам. Рассмотрим один из двух прямоугольных треугольников, на которые делится исходных равносторонний треугольник проведенной высотой. Гипотенуза прямоугольного треугольника = a, один из катетов = (a/2). Найдем второй катет, который является высотой исходного треугольника. По т. Пифагора:
a^2 = (a/2)^2 + h^2;
h^2 = a^2 - (a/2)^2 = a^2 - (a^2/4) = (3/4)*(a^2).
h = a*(V3)/2,
Центр описанной окружности - это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам данного треугольника. Но в равностороннем треугольнике все серединные перпендикуляры являются медианами (а также биссектрисами и высотами) этого треугольника. Поэтому длина h это длина медианы, а искомый радиус (в соответствии с теоремой 3) ) будет равен (2/3) от h. Т.е.
R = (2/3)*h = (2/3)*a*(V3)/2 = (2/3)*(V3)*(V3)/2 = 1.