Найдите сумму бесконечно убывающей прогрессии 9; -3; 1; ; заранее большое ! )

Решение смотри на фото

Если f(-x)=f(x), то функция четная
Если f(-x)=-f(x), то функция нечетная
В другом случае функция ни четная, ни нечетная

a) f(x)=5x^4+2x^2
f(x)=5(-x)^4+2(-x)^2=5x^4+2x^2=f(x) четная

б)f(x)=-6+sin^2x
f(-x)=-6+sin^2(-x)=-6+sin^2x=f(x) четная

в)f(x)=x|x|
f(-x)=(-x)|(-x)|=-x|x|=-f(x) нечетная
 
г)f(x)=x^2sinx
f(-x)=(-x)^2sin(-x)=-x^2sinx=-f(x) нечетная

д)f(x)=3x^2+cos3x/2
f(-x)=3(-x)^2+cos3(-x)/2=3x^2+cos3x/2=f(x) четная

е)f(x)=-10^8+2,5
f(-x)=-10^8+2,5=f(x) четная

ж)f(x)=2x^7+3x^3
f(-x)=2(-x)^7+3(-x)^3=-2x^7-3x^3=-(2x^7+3x^3)=-f(x) нечетная

з)f(x)=1/3x^3*tgx^2
f(-x)=1/3(-x)^3*tg(-x)^2=-1/3x^3*tgx^2=-(1/3x^3*tgx^2)=-f(x) нечетная

Дана функцию f(x) = (x² - 3x) / (x - 4 ).

1 ) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке [-1; 3].  

2 ) Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции  .

ответ:  1 )   наибольшее 1  ;   наименьшее   - 0,8 .

2 )

Функция возрастает: x ∈( -∞ ; 2 ]  и x ∈[ 6 ;∞) .

Функция  убывает   x∈[2 ; 4) и x ∈(4 ;6] ;

Точки экстремумов:  x =2 точка максимума  и x = 6 точка минимума .

Объяснение:   D(f) : ( - ∞ ; 4)  ∪ (4 ; ∞ )                   [    R \ {4 }    ]

( u(x) /v(x) ) ' =  ( u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x) ) / v²(x)

f ' (x) = ( (x² - 3x) / (x - 4 ) ) ' =( (x² - 3x) ' *(x - 4 ) - (x² - 3x)*(x-4) ' ) / (x-4)² =

( (2x - 3)*(x - 4 ) - (x² - 3x)* 1 ) / (x-4)²  = (x² - 8x +12) / (x-4)² =(x-2)(x-6) / (x-4)².

f ' (x)  = 0 ⇔(x-2)(x-6) / (x-4)² =0 ⇒ x₁ =2 ,  x₂ = 6 .

f'(x) не существует в точке x =4 , но в этой точке не существует и функция  

1)

* * *    x₂ = 6 ∉  [ -1 ; 3 ]      * * *

x₁=2 ∈ [ -1 ; 3 ]      f (x₁ ) =f (2 )  =(2² -3*2) /(2 - 4)  = 1 ;

f (a ) =f (-1 ) =( (-1)² -3*(-1) ) /( (-1) - 4)  = - 4/5 = - 0,8 ;

f(b) = f(3) = (3² - 3*3) /(3 -4) = 0

На  промежутке [-1;3]  наибольшее значение функции  равно 1 (если x=2 ),  наименьшее значение  -0,8 (если x= - 1 ) .  

2)

Промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции  .

f ' (x)  = 0 ⇔(x-2)(x-6) / (x-4)² =0        ⇒ x₁ =2 ,  x₂ = 6 .

Функция  возрастает  , если  f ' (x)  ≥ 0

Функция убывает  ,  если  f ' (x) ≤  0

По методу  интервалов

f '(x )  + + + + + + + + + + [ 2 ]  - - - - - - - - - - [ 6]  + + + + + + +

f (x )  ↑  (возрастает)            ↓ (убввает)             ↑  (возрастает)

Функция возрастает: x ∈( -∞ ; 2 ]  и x ∈[ 6 ;∞) .

Функция  убывает   x∈[2 ; 4) и x ∈(4 ;6] .

x =2  и   x=6 точки  экстремумов ( производная функции меняет знак при прохождения через эти точки )

x =2 точка максимума ,   f(2) = 1

x =6 точка  минимума  ,   f(6)=(6² -3*6) /(6 - 4)  =(36-18)/ 2=9.