Решить уравнение 2 sin^2 x-cos x-1=0

Sin²x +cos²x=1 ⇒sin²x=1-cos²x

2 sin² x -cos x-1=0

2(1-cos²x) - cos x-1=0

2-2cos²x -cos x-1=0

-2cos²x -cos x+1=0

2cos²(x )+cos( x)-1=0

cos(x)=t

2t²+t-1=0
D=1+4=9   √D=3
t=(-1+3)/4=1/2      cos(x)=1/2  x=+/- π/3 +2πn  π∈Z
t=(-1-3)/4= -1        cos(x)= -1  x=π+2πn   n∈Z

Объяснение:

{ sin(x)+cos(y)=0 ,

{ cos(2x)-cos(2y)=1 ;

{ cosy = - sinx ,

{ cos2x = 1 + cos2y ;

{ cosy = - sinx ,

{ cos²x - sin²x = 2cos²y ;

{ cosy = - sinx ,

{ cos²x - sin²x = 2sin²x ;  рішаємо ІІ  рівняння :

1 - sin²x - sin²x = 2sin²x ;

4sin²x = 1 ;

sin²x =1/4 ;

a ) sinx = - 1/2 ;                      або        б )  sinx = 1/2 ;

x₁ = ( - 1 )ⁿ⁺¹ π/6 + πn,  nЄ Z ;                             x₂ = ( - 1 )ⁿ π/6 + πn , nЄ Z ;

cosy = - ( - 1/2) = 1/2 ;                                 cosy = 1/2 ;

y₁ = ± π/3 + 2πm ,  mЄ Z ;                    y₂= ± 2π/3 + 2πm , mЄ Z .      

Объяснение:

1) ∫₋ ₁¹ dx/( x-1) = ln| x-1 |│₋ ₁¹ =  ln| 1 - 1 | -  ln| - 1 - 1 | = ln 0 - ln2  - не має змісту

2)  ∫₁ᵃ dx/xlnx  = ∫₁ᵃ d( lnx )/lnx = ln| lnx |│₁ᵃ = ln| lne | - ln| ln 1 | =ln 1 - ln 0 - цей

вираз, як не дивно , теж не має змісту .

При розв"язуванні верхню межу  е  ми позначили  а .

3) Цей інтеграл невласний .  НЕмає можливості набрати в інтегралі

нижню межу  ∞ ,  тому    ∞   позначена буквою  а

∫₋ₐ⁰ x dx/( x² + 1 ) = lim ∫₋ₙ⁰ x dx/( x² + 1 ) =  lim ∫₋ₙ⁰ 1/2 d(x² + 1 )/( x² + 1 ) =

                              n--> ∞                              n--> ∞    

= 1/2 lim ∫₋ₙ⁰  d(x² + 1 )/( x² + 1 ) = 1/2 lim ln | x² + 1 |│₋ₙ⁰  = 1/2 lim[ ln|0²+ 1 | -

       n--> ∞                                            n--> ∞                              n--> ∞

- ln|0²+ 1 | ] = 1/2 lim[ ln 1 - ln| ( -n )² + 1 ] = 1/2 lim [ 0 -  ln| ( n² + 1 ) ] =

                            n--> ∞                                    n--> ∞  

= 1/2 lim ln [ 1 /( n² + 1 ) ]  =  1/2 ln 1 = 1/2 * 0 = 0 .

      n--> ∞

Отже , цей інтеграл дорівнює  0 .