Известно, что x и у -целые числа и х²+9хy+y² делится на 11. доказать, что х²-y² делится на 11

X^2 + 9xy + y^2 = (x + 10y)(x - y) + 11y^2 = 11x^2 - (10x + y)(x - y)

т.к. 11y^2 и 11x^2 делятся на 11, на 11 так же должны делиться (x + 10y)(x-y) и (10x + y)(x-y)
Т.е. либо x-y делится на 11, либо x+10y и 10x+y делятся на 11, причем во втором случае (10x+y) - (x+10y) = 9(x - y) тоже делится на 11. Тогда x-y делится на 11 в любом случае

x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)
x-y делится на 11 -> x^2 - y^2 тоже делится

1. По теореме Виета сумма корней равна -4, значит среднее арифметическое корней равно - 2, а не 2.

2. Замена √x=t≥0; √2t^2-t-2=0 - два корня, но один из них отрицательный.
Поэтому и первоначальное уравнение имеет только один корень

3. 2sin xcos x-cos x=0; cos x(2sin x-1)=0; cos x=0 (⇒ x=π/2 или 3π/2)
или sin x=1/2 (⇒ x=π/6 или x=5π/6). Сумма корней равна 3π

4. lg x=t; t^2-2t-9=0; по теореме Виета
t_1+t_2=2⇒x_1·x_2=10^(t_1)·10^(t_2)=10^(t_1+t_2)=10^2=100

5. Условие отображено некорректно.

Замечание. При использовании теоремы Виета необходимо отдельно продумывать существование корней.

1. По теореме Виета сумма корней равна -4, значит среднее арифметическое корней равно - 2, а не 2.

2. Замена √x=t≥0; √2t^2-t-2=0 - два корня, но один из них отрицательный.
Поэтому и первоначальное уравнение имеет только один корень

3. 2sin xcos x-cos x=0; cos x(2sin x-1)=0; cos x=0 (⇒ x=π/2 или 3π/2)
или sin x=1/2 (⇒ x=π/6 или x=5π/6). Сумма корней равна 3π

4. lg x=t; t^2-2t-9=0; по теореме Виета
t_1+t_2=2⇒x_1·x_2=10^(t_1)·10^(t_2)=10^(t_1+t_2)=10^2=100

5. Условие отображено некорректно.

Замечание. При использовании теоремы Виета необходимо отдельно продумывать существование корней.