Варифметической прогрессии сумма пятнадцати рервых членов равна 20, а сумма первых её двадцати членов равна 15. найдите сумму 35 членов прогрессии

Сумма первых 30 членов равна 10, а сумма первых 35 членов равна 7,5

S15=20; S20=15; S35-?

2a1+14d
S15 = • 15 = (a1+7d)•15
2

2a1+19d
S20 = • 20 = (a1+9,5d)•20
2

{(a1+7d)•15=20
{(a1+9,5d)•20=15
{15a1+105d=20 |:5
{20a1+190d=15 |:5
{3a1+21d=4 |•4
{4a1+38d=3 |•(-3)
{12a1+84d=16
{–12a1–114d=–9
–30d=5
d=–1/6
3a1+21•(-1/6)=4
3a1=7,5
a1=2,5

2a1+34d
S35 = • 35 = (a1+17d)•35 =
2

= (2,5+17•(-1/6))•35 = (5/2–17/6)•35 =
= (-1•35)/3 = –35/3 = –11 2/3

Натуральные числа разбиваются на два непересекающихся множества вида 2m и 2m+1, где m - натуральное.
а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным.
(2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 =
2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.

b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа.
Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа:
n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n
Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом?
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n
Не может.

Цельная и стройная запись решения:
n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2
Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.

Вниз по реке-это значит, что течение плыть катеру, т.е. полная скорость катера за в это путешествие составляло х+21 км/ч, где х-скорость течения реки. Получается обратно скорость катера была меньше, т.к. течение уже мешало плыть катеру, т.е. обратно скорость катера составляла: 21-х км/ч. Пусть у - это время всего путешествия катера - туда и обратно. Составим уравнение относительно скорости реки "х" и решим его:
Путешествие катера из города А в город В:
(х+21)m=72
(x-21)n=72
m+n=y Здесь: m-время пути катера из города А в город В, а n-время пути катера обратно, тогда:
m=y-n 

(х+21)(y-n)=72
(x-21)n=72

Время пути канистры:
х*у=21

Получаем систему уравнений:

(х+21)(y-n)=72
(x-21)n=72
х*у=21

x*y-x*n+21*y-21*n=72
x*n-21*n=72
х*у=21

21-x*n+21*y-21*n=72
x*n-21*n=72
х*у=21

21-x*n+21*y-21*n=72
n(x-21)=72
х*у=21

21-21n+72-21n+21y=72
n(21/y - 21)=72

-42n+21y=-21   :21
n=72/(21/y - 21)

-2n+y=-1
n=72/(21/y - 21)

y=2n-1
n*(21/(2n-1) - 21)=72
n*(21-42n+21)=72(2n-1)
-42n²+42n-144n+72=0
-42n²-102n+72=0
-21n²-51n+36=2601+12096=5625
√5625=75
n1=(51+75)/-42=-3 <0 - ответом быть не может (скорость не может быть отрицательной)
n2=(51-75)/-42=24/42=12/21

y=2n-1=2*12/21 - 1=24/21 - 1=8/7 - 1=1 1/7 - 1=1/7 км/ч