(y-4)²-(4+y)(y-4) (надо выражение)

Y^2-8y+16-y^2+16=32-8y=8(4-y)

Y^2-8y+16-y^2+16=32-8y

№1
x[x*4-x*x-3*4-3*(-x)]= 16-x[x^2-2*x*3,5+(3,5)^2]
x(4x-x^2-12+3x)= 16-x(x^2-7x+12,25)
x(4x+3x-x^2-12)= 16-x(x^2-7x+12,25)
x(7x-x^2-12)= 16-x*x^2-x*(-7x)-x*12,25
x*7x-x*x^2-x*12= 16-x^3+7x^2-12,25x
7x^2-x^3-12x-16+x^3-7x^2+12,25x= 0 (сокращаются 7x^2 и -7x^2, -х^3 и x^3)
-12x+12,25x-16= 0
0,25x-16= 0
0,25x= 16
x= 16:0,25 => 16:1/4= 16*4
x= 64

№2
[(4x)^2-2*4x*1+1^2]-(2x*6x+2x*5-3*6x-3*5)= 4(x^2-2*x*2+2^2)+16x
16x^2-8x+1-(12x^2+10x-18x-15)= 4(x^2-4x+4)+16x
16x^2-8x+1-(12x^2-8x-15)= 4*x^2-4*4x+4*4+16x
16x^2-8x+1-12x^2+8x+15= 4x^2-16x+16+16x (сокращаются -8x и 8x, -16x
и 16x)
16x^2+1-12x^2+15= 4x^2+16
16x^2-12x^2+1+15= 4x^2+16
4x^2+16= 4x^2+16
4x^2-4x^2= 16-16
0=0

№3
x*x+x*1-1*x-1*1= 2(x^2-2*x*5+5^2)-x*x-x*(-3)
x^2+x-x-1= 2(x^2-10x+25)-x^2+3x (сокращаются х и -х)
x^2-1= 2*x^2-2*10x+2*25-x^2+3x
x^2-1= 2x^2-20x+50-x^2+3x
x^2-1= 2x^2-x^2-20x+3x+50
x^2-1= x^2-17x+50
x^2-x^2+17x-1-50= 0 (сокращаются x^2 и -x^2)
17x-51= 0
17x= 51
x= 51:17
х= 3

Задание 1.

Выберем в стандартный базис (то есть векторы и ). В выбираем тоже стандартный базис. Образы базисных векторов: . Здесь уже есть два линейно независимых вектора: и , а потому (а базис приведен чуть выше). Теперь ясно какая размерность ядра: . Элементы ядра должны удовлетворять системе . Уже отсюда можно было понять, что размерность ядра равна двум: четыре переменные и два уравнения, ограничивающие их. Тогда положив , получим, например, решение , а для подойдет . Итого два вектора: . Линейная независимость этих векторов гарантирует, что они являются базисом ядра.

Задание 2.

Чтобы показать, что является базисом в достаточно показать, что она линейно независима (достаточно, поскольку вектора два, а размерность равна двум). В нашем случае система состоит из одного вектора и потому не может быть базисом в . Часть 2 решить все-таки не могу, поскольку -- не базис.

Задание 3.

(A)

, , .

(B)

Поскольку размерность равна трем, то для того чтобы показать, что -- базис, достаточно показать, что они линейно независимы. Это легко видеть хотя бы потому, что ранг матрицы равен трем (поскольку ее определитель, равный , ненулевой).

Задание 4.

В нашем случае имеем систему . Количество решений зависит от размерности пространства, которое задает данная система. По сути, можно рассматривать отображение такое, что . Тогда система задает ядро этого отображения, размерность которого в новой интерпретации ищется просто -- точно так же, как мы делали это в первой задаче. Образы базисных векторов: дальше считать не стал, поскольку уже первые два вектора линейно независимы. Значит, размерность образа равна двум, но тогда ядро имеет размерность . Следовательно, ядро как множество бесконечно (было бы конечным только в случае нульмерного ядра). То есть имеем две свободные переменные. Например, систему можно свести к , тогда переменные будут базисными, а -- свободными. Ненулевое решение предъявить просто: Пространство решений есть ядро ,  а поскольку его размерность два, нам достаточно найти два линейно независимых решений системы. Одно мы уже нашли. Теперь положим и тогда -- решение. Но это два линейно независимых решения, а потому они образуют базис пространства решений.

Задание 5.

1. В нашем случае . Легко видеть, что берутся числа вида , то есть и потому , значит, состоит из тех и только тех чисел, у которых две последние координаты нулевые. Следовательно, является подпространством, потому что это множество замкнуто относительно суммы () и умножения на скаляр.

2. . Несмотря на то что это множество замкнуто относительно суммы, оно не замкнуто относительно умножения на скаляр. В самом деле, например, лежит в множестве, однако -- не лежит. Следовательно, это множество не является подпространством.

3. . Здесь те же причины: лежит в множестве, а   -- нет.