Для любых действительных чисел a, b докажите, что: если a> b, b> 0 то корень из ab=2ab/a+b решение по возможности подробное

Данное равенство верно только тогда, когда a = b 
√ab > 2ab/(a + b)
Возводим в квадрат
ab > 4a²b²/(a² + 2ab + b²)
Т.к. a > 0, b > 0, то по свойству пропорции:
ab(a² + 2ab + b²) > 4a²b²
a³b + 2a²b² + ab² > 4a²b²
a³b + 2a²b² + ab³ > 0
ab(a² + 2ab + b²) > 0
ab(a + b)² > 0
Равенство верно, т.к. a > 0, b > 0, (a + b)² > 0.
Значит,  √ab > 2ab/(a + b)

Вообще √ab - среднее геометрическое двух чисел.
2ab/(a + b) - среднее гармоническое двух чисел. 

Это уравнение с одним неизвестным с, только, как мне кажется, оно записано с ошибкой, здесь надо выражение 3с - 1 взять в скобки, потому что иначе получается, что на 14 надо делить (-1), а не (3с - 1):
Общий знаменатель в данном случае - 14. Поэтому первую дробь домножаем на 2 и "двойку" во второй части уравнения домножаем на 14. Получаем после этого уравнение:
2с - (3с - 1) = 2 * 14         Открываем скобки:
2с - 3с + 1 = 28
-с = 27
с = -27
Всегда стоит проверять, правильно ли решено, т.е. подставить полученное решение с = -27 в данное уравнение. Если обе части уравнения окажутся равны, то решение правильное.

1)
х-у=4
х*у=45

х=4+у
(4+у)*у=45
у²+4у-45=0
у1+у2=-4
у1*у2=-45
у1=-9   у2=5
при у1=-9  х1=4-9=-5
при у2=5   х2=4+5=9
ответ (-5, -9) и (9, 5)

2) 
х-у=8
х²+у²=97+х*у

х=8+у
(8+у)²+у²-97-у*(8+у)=0
64+16у+у²+у²-97-8у-у²=0
у²+8у-33=0
у1+у2=-8
у1*у2=-33
у1=-11    у2=3
при у1=-11   х1=8-11=-3
при у2=3      х2=8+3=11
ответ. (-3, -11) и (11, 3)

3)
а - меньший катет
в - больший катет
периметр Р=а+в+с=а+в+17=40
а+в=23
в=23-а
по теореме Пифагора
а²+в²=17²
а²+(23-а)²=289
а²+529-46а+а²-289=0
2а²-46а+240=0
а²-23а+120=0
а1+а2=23
а1*а2=120
а1=15   а2=8
т.к. а - меньший катет, то а=8
в=23-8=15
Площадь треугольника S=1/2*а*в=1/2*15*8=15*4=60
ответ. катеты 8см и 15см, площадь 60 см²