Разложить на множители: 1) -3а^4-12а^3-12а^2=? 2) а+5в+а^2-25в^2=? !

-3a²(a²+4a+4)=-3a²(a+2)²
a+5b+(a-5b)(a+5b)=(a+5b)*(1+a-5b)

В решении.

Объяснение:

1. Выполните умножение.

а) (а – 5) (а – 3) = а² - 3а - 5а + 15 = а² - 8а + 15;

б) (5х + 4) (2х – 1) = 10х² - 5х + 8х - 4 = 10х² + 3х - 4;

в) (3р + 2с) (2р + 4с) = 6р² + 12ср + 4ср + 8с² = 6р² + 16ср + 8с²;

г) (b – 2)(b² + 2b – 3) = b³ + 2b² - 3b - 2b² - 4b + 6 = b³ - 7b + 6.

2. Разложите на множители.

а) x (x – y) + a (x – y) = (х - у)(х + а);

б) 2a – 2b + ca – cb = (2a–2b) + (ca–cb)=2(a - b) + c(a - b) = (a - b)(2 + c).

3. Упростите выражение:

0,5x (4x² – 1) (5x² + 2) =

= 0,5х(20х⁴ + 8х² - 5х² - 2) =

= 0,5х(20х⁴ + 3х² - 2) =

= 10х⁵ + 1,5х³ - х.

4. Представьте многочлен в виде произведения.

а) 2a – ac – 2c + c² =

= (2а - 2с) - (ас - с²) =  

= 2(а - с) - с(а - с) =

= (а - с)(2 - с);

б) bx + by – x – y – ax – ay =

= (bx + by) – (x + y) – (ax + ay) =

= b(x + y) - (x + y) - a(x + y) =

= (x + y)(b - a - 1).

5. Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 см². Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.

а - первоначальная длина прямоугольника.

b - первоначальная ширина прямоугольника.

а*b - первоначальная площадь прямоугольника.

а - 5 - изменённая длина прямоугольника.

b + 5 - изменённая ширина прямоугольника.

(а - 5)(b + 5) - новая площадь прямоугольника.

По условию задачи система уравнений:

2(а + b) = 70

(а - 5)(b + 5) - аb = 50

Раскрыть скобки и упростить уравнения:

а + b = 35

ав + 5а - 5b - 25 - аb = 50

а + b = 35

5а - 5b = 50 + 25   ⇒   5(a - b) = 75  ⇒  

a - b = 15

Выразить а через b в первом уравнении, подставить выражение во второе уравнение и вычислить b:

a = 35 - b

35 - b - b = 15

-2b = 15 - 35

-2b = - 20

b = -20/-2

b = 10 (см) - первоначальная ширина прямоугольника.

a = 35 - b

a = 35 - 10

a = 25 (см) -  первоначальная длина прямоугольника.

Проверка:

25-5=20 (см) - изменённая длина прямоугольника.

10+5=15 (см) - изменённая ширина прямоугольника.

25 * 10 = 250 (см²) - первоначальная площадь прямоугольника.

20 * 15 = 300 (см²) - новая площадь прямоугольника.

300 - 250 = 50 (см²), верно.

Можно попробовать разбить на систему неравенств:
1/3≤(x^2-x+1)/(x^2+x+1) и  
(x^2-x+1)/(x^2+x+1)≥3
после приведения к общему знаменателю, переносу в левую часть и упрощения получаем:
(x-1)^2/(3(x^2+x+1))≥0 и
-(x+1)^2/(x^2+x+1)≤0
далее рассуждаем: первое неравенство- дробь больше или равна нулю в двух случаях, когда числитель больше или равен нулю, знаменатель больше нуля и когда числитель меньше или равен нулю и знаменатель меньше нуля. В нашем случае, независимо от значений x, числитель больше или равен нулю, знаменатель всегда строго больше нуля. Следовательно данная дробь всегда положительна.
Аналогичные рассуждения со второй дробью. Она всегда отрицательна или равна нулю- числитель при любых x отрицательный, а при x=-1 равен нулю. А знаменатель всегда положительный. 
Следовательно выполняется указанное двойное неравенство. ч.т.д.