Расположите в порядке возрастания: 0, 12(во второй степени) 3/200 0, 6*0, 35/15

1) 0,014
2)0,0144
3)0,015

1) y=4x-16  - прямая
   при  y =0:
    4x-6 =0 --->  x=1,5  
          (1,5; 0)  - пересечение с осью  Х
   при х=0:  у=-16
         (0; -16) - пересечение с осью Y
2) y=x²-5x-6 - парабола
     при   х=0: у=-6
      пересечение с осью y : (0; -6)
   при y =0:
x²-5x-6=0
x1=-1    x2=6
y=0        y=0
    пересечение с осью х:   (-1; 0)   и (6;0)

3) y=x³-8
 при у=0:   х³=8  х=2 ;  пересечение с осью х:  (2;0)
 при х=0:   у=-8;           пересечение с осью у:  (0;-8)

4) у=√(х+1) -√(4-х)
  при х=0:   у=√1-√4=1-2=-1  пересечение с осью y: (0;-1)

  при у=0: 
√(x+1) -√(4-x) =0
√(x+1)=√(4-x)
x+1=4-x
2x=3
x=1,5  
gпересечение с осью х:  (1,5; 0)
  

Условие

x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что (1 + x)n ≥ 1 + nx.

Решение 1

Докажем неравенство индукцией по n.

База. При n = 1 неравенство превращается в равенство.

Шаг индукции. Пусть уже доказано, что (1 + x)n ≥ 1 + nx. Тогда (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx² ≥ 1 + (n + 1)x.

Решение 2

Пусть a > 1. Рассмотрим функцию f(x) = (1 + x)a – ax – 1, определенную при x > –1. Ее производная f'(x) = a(1 + x)a–1 – a = a((1 + x)a–1 – 1) положительна при x > 0 и отрицательна при –1 < x < 0. Следовательно, f(x) ≥ f(0) = 0 на всей области определения.

Замечания

1. Неравенство превращается в равенство не только при n = 1, но и при x = 0 . В остальных случаях оно строгое.

2. При x ≥ 0 (такое ограничение дано в источнике) неравенство Бернулли сразу следует из формулы бинома: (1 + x)n = 1 + nx + ... .

3. Из решения 2 видно, что неравенство верно и при нецелых n > 1.