Уэкзаменатора на столе лежат три конверта с . в первом конверте находятся 5 простых и 5 повышенной сложности, во втором конверте находятся 4 простые и 8 повышенной сложности, а в третьем конверте находятся 6 простых и 3 повышенной сложности. из первого конверта во второй экзаменатор перекладывает 2 , после этого из второго конверта в третий он перекладывает 1 . студент из третьего конверта берет 1 . найти вероятность, что ему попадется простая .

Событие А -из 3-го конверта взять простую задачу.

В1 -из первого конверта переложить во второй П (простую задачу)
В2- из первого конверта переложить во второй С (сложную задачу)

Р(В1)=6/12=1/2
Р(В2)=6/12=1/2

Событие С1- из второго конверта переложить в 3-ий  - 2П (две простые задачи)
С2- из второго переложить в 3-ий  - 2С (две сложные задачи)
С3- из второго переложить в 3-ий  - 1П+1С (одну простую и одну сложную задачу)

Найдём вероятности этих событий :

Р(С1|B1)=5/13*4/12
P(C2|B1)=8/13*7/12
P(C3|B1)=5/13*8/12+ 8/13*5/12=2*(5/13*8/12)

P(C1|B2)=4/13*3/12
P(C2|B2)=9/13*8/12
P(C3|B2)=4/13*9/12+9/13*4/12=2*(4/13*9/12)

Так как Р(В1)=Р(В2)=1/2,то вынесем 1/2 за скобки :

P(Ci)=1/2*(P(Ci|B1)+P(Ci|B2) ; где i=1 , 2 или  3

P(C1)=1/2*(5/13*4/12+4/13*3/12)=4*8/2*12*13=4/39
P(C2)=1/2*(8/13*7/12+9/13*8/12)=8*16/2*12*13=16/39
P(C3)=1/2*2*(5/13*8/12+4/13*9/12)=76*2/2*12*13=19/39

P(A|C1)=5/14 - в 3-ем конверте 5 простых и 9 сложных задач,всего 14
P(A|C2)=3/14 - 3 простых и 11 сложных задач,всего 14
P(A|C3)=4/14 - 4 простых и 10 сложных задач,всего 14

Находим вероятность события А (вытащить простую задачу) :

P(A)=P(C1)*P(A|C1)+P(C2)*P(A|C2)+P(C3)*P(A|C3)=
5/14*4/39+3/14*16/39+4/14*19/39=(20+48+76)/14*39=144/14*39=24/91

Первая труба  -- за 1 час -- 1/3 бассейна

Вторая труба  -- за  1час  -- 1/2 бассейна

 

1) 1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6 (бассейна) - за 1 час

2)1: 5/6 =6/5 (час)=1 час 12 мин - за это время обе трубы заполнят бассейн Первая труба заполняет бассейн за 3 часа, значит за 1 час она заполняет 1/3 часть бассейна

Вторая труба заполняет бассейн за 2 часа, значит за 1 час она заполнит 1/2 часть бассейна.

 

Пусть для заполнения бассейна обеими трубами потребуется х часов, значит первая за это время заполнит х/3 часть бассейна, а вторая х/2 часть бассейна, а вместе они заполнят 1(один) целый бассейн. Составим уравнение:

х/3 + х/2 =1

2х+3х=6

5х=6

х=6/5(часа)=1 1/5 часа=1ч 12 мин - за это время обе трубы заполнят бассейн

х - один из множителей, а/х - второй,

s=x + a/x -  сумма множителей, 1≤x≤a;

Исследуем функцию s(x) на экстремумы на отрезке [1;a]

1)Находим производную.

s'(x)=(x + a/x)'=x' + (a/x)'=1 + a(x^(-1))'=1 - a*x^(-2)=1 - a/x^2;

2)Находим критические точки.

s'=0,

1-a/x^2=0,

(x^2-a)/x^2=0,

x^2-a=0,

x^2=a,

x1=-√a∉[1;a], x2=√a,

3)Находим значения функции в критических точках и на концах отрезка.

s(1)=1+a/1=a+1,

s(√a)=√a + a/√a=2√a,

s(a)=a+a/a=a+1.

Сравниваем полученнае значения.

a+1-2√a=(√a)^2-2√a+1=(√a+1)^2>0,

a+1-2√a>0,

a+1>2√a,

max s=s(1)=s(a),

x1=1, x2=a.

ответ: 1 и а.