Крот роет ход длиной 720 метров. ежедневно он роет на одно и то же число метров больше по сравнению с предыдущим днём. известно, что за первый день крот прорыл 15 метров. определите, сколько метров хода крот прорыл в последний день, если весь ход он вырыл за 16 дней.

В 1 день 15 м, во 2 день 15+d м, в 3 день 15+2d м, и так далее.
Сумма арифметической прогрессии
S(16) = (2a1 + 15d)*16/2 = (2*15 + 15d)*8
720 = (30 + 15d)*8
30 + 15d = 720/8 = 90
15d = 60
d = 4 м - на столько больше крот рыл каждый день.
В последний день он прорыл
a(16) = a1 + 15d = 15 + 15*4 = 15 + 60 = 75 м

Предположим, что оно существует!  Пусть это будет а/с  несократимая дробь.
Значит (а/с)² = 7
(а²) /(с²) =7
а² = с² * 7. В правой части выражение кратно 7, значит и в левой кратно 7. А это означает, что а кратно 7, т.е. а = 7к.
(7к)² с² * 7
49 к² = 7 с². Сократи на 7.
7 к² = с². Теперь в левой части число кратно 7, а значит и в правой тоже кратно 7. Значит с= 7п. Получается, что дробь а/с будет сократимой, что противоречит нашему предположению о том, что она несократимая.. Значит такой дроби не существует.

Пусть собственная скорость баржи = х(км/ч),
тогда скорость по течению = (х + 5) км/ч,
скорость против течения = (х - 5) км/ч.
Время баржи по течению = 40 / (х + 5) часов
Время баржи против течения = 30 /(х - 5) часов
По условию задачи составим уравнение:
40/(х + 5) + 30/(х - 5) = 5      0бщ. знам. = х^2 - 25
40 *(x -5) + 30*(x + 5) = 5*(x^2 - 25)
40x - 200 + 30x + 150 = 5x^2 - 125
-5x*2 + 70x + 75 = 0      сокращаем на - 5,
х^2 - 14x - 15 = 0
D = 196 - 4(- 15) = 196 + 60 = 256    YD = 16
x1 = (14 + 16) /2 = 15  
х2 = (14 - 16)/ 2 = -1  (не соответствует условию)
ответ: 15км/ч - собственная скорость баржи.