Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что нок (a, b)=нод (a, b)+23​

We do not want to lose our energy game,we play together ,we cook together . we do not once waste our energy

Все числа от 1 до 75 делятся на три группы.

1) Целые числа, которые делятся на 3 без остатка: 0, 3, 6, 9, 12, …72,75. Они представимы в виде  n=3k, где kϵZ

2) Целые числа, которые делятся на 3 c остатком 1: 1, 4, 7, 10, 13, …73. Они представимы в виде  n=3k+1, где kϵZ

2) Целые числа, которые делятся на 3 c остатком 2: 2, 5, 8, 11, 14, …74. Они представимы в виде  n=3k+2, где kϵZ

 

Выясним, какие остатки имеют квадраты чисел каждой группы.

 1) n²=(3k)²

Квадраты чисел первой группы делятся на 3 без остатка.

2) n²=(3k+1)²=9k²+6k+1=3*(3k²+2k)+1.

Квадраты чисел второй группы делятся на 3 с остатком 1.

3) n²=(3k+2)²=9k²+12k+4= 9k²+12k+3+1=3*(3k²+4k+1)+1.

Квадраты чисел третьей группы делятся на 3 с остатком 1.

 

Теперь найдём сумму S₁ всех чисел от 1 до 75, а затем вычтем сумму S₂ всех чисел, которые делятся на 3 без остатка,  и получим искомую сумму S всех натуральных чисел от 1 до 75 включительно, при делении квадратов которых на 3 получается остаток, равный 1.

 

1) Hайдём сумму S₁ всех чисел от 1 до 75 по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

S= (a₁+an)*n/2

а₁ = 1

а₇₅= 75

n = 75

S₁= (1+75)*75/2 = 2850

2) Hайдём сумму S₂ всех чисел от 3,  6,  9, …,72, 75 по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

S= (a₁+an)*n/2

n = 75:3=25

а₁ = 3

а₂₅= 75

 S₂= (3+75)*25/2 = 975

3) Hаконец, найдём сумму S = S₁ - S₂

S = 2850 - 975 = 1875

ответ: 1875

 

                                                     |
||
Сделаем такой чертеж, где одна вертикальная линия - человек ,а две вертикальные линии - столб с фонарем.Соединяем концы этих линий с прямой так, чтобы получился треугольник,Рассмотрев его мы увидим, что этот треугольник состоит из 2 треугольников, одного большого и одного маленького.Эти треугольники подобны .,а стороны подобных треугольников пропорциональны.
Составим пропорцию.
Длину тени  человека обозначим х. Тогда длина тени столба будет х + 15
х         : 1.5 
х + 15 : 5.4
5.4 х = 1.5 х + 22.5
5.4 х - 1.5 х = 22.5        
х = 22.5 \ 3.9   = 5.8 м - длина тени человека( приблизительно)