Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции y = a(cos 4x-5) в точке с абсциссой x=п/3 параллельна биссектрисе второй координатной четверти.

биссектриса второй координатной четверти имеет уравнение у=-х,значит производная данной функции в точке pi/3 должна быть равна -1, y’(x)=-4asin4x ; y’(pi/3)=-4asin(4*pi/3)= 4asinpi/3=4asqrt3/2=2asqrt3; 2asqrt3=-1 ; a=-1/(2sqrt3)-это ответ. sqrt3-квадратный корень из трёх.

2  сos² 2x   -1 +cos 2x = 0 2 cos² 2x -  cos x -1 = 0 решаем как квадратное a)  cos 2x = 1                     б) cos 2x = -1/2 2x = 2πk, где к  ∈z               2x = +- arc cos (-1/2) +2π n , где n∈z х =  π к, где к∈z                  2x = +-2π/3 + 2πn, где n∈z                                             x = +-  π/3 +  πn,где n∈ z  получили 2 группы корней. будем искать корни, которые в указанный промежуток разберёмся с указанным   отрезком на числовой прямой - π       -π/2         0         π/3         а) х =  πк,где к  ∈z k = -1 x = -π ( попадает в указанный  отрезок) к = 0 х = 0 ( попадает в указанный отрезок) к = 1 к = 2 х = 2π( не попадает в указанный отрезок) б) х = +-  π/3 +πn,где n  ∈z n = 0 x = +-π/3 (попадает в указанный отрезок) n   = 1 х =  π/3 +  π( не попадает) х= -  π/3 +π ( не попадает) n = -1 x =  π/3 -  π = -2π/3( попадает) х = -π/3 -π(не попадает)

Найдем стороны четырехугольника авсd: длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. ав{1; 3}, |ab|=√(1+9)=√10. bc{3; 1}, |bc|=√(9+1)=√10. cd{-1; -3},|cd|=√(1+9)=√10. ad{3; 1}, |ad|=√(9+1)=√10. итак, в четырехугольнике все стороны равны. ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. если все противоположные стороны попарно равны: ab = cd, bc=da, то четырехугольник авсd - параллелограмм. у нас выполняются оба условия, значит четырехугольник авсd является ромбом или квадратом. но для того, чтобы доказать, что это не квадрат, определим угол между двумя соседними векторами. угол α между вектором a и b: cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]. в нашем случае: cosα=(3+3)/[√(1+9)*√(9+1)] = 6/10 = 0,6. то есть угол между векторами ав и вс не прямой. этого достаточно, чтобы доказать, что  четырехугольник авcd не квадрат. следовательно, четырехугольник авcd - ромб. что и требовалось