Разложить на множители: 27х-2х^3+x^4-54

Фоточка тебе в

27х-2х^3+x^4-54=x³(x-2)+27(x-2)=(x-2)(x³+27)=(x-2)(x+3)(x²-3x+9)

производная там будет больше нуля, где функция возрастает, а именно на промежутках [-3.9;-1] и [2;4.2] и соответственно  производная меньше нуля, если функция убывает. здесь по графику видно, что х∈[-1;2]

Точки экстремума - это точки, при переходе через которые которых функция меняет характер, а производная знак.

Точка максимума - х=-1, в ней возрастание сменяется на убывание, и производная меняет знак с плюса на минус, и х=2- точка минимума, т.к. при переходе через нее производная меняет знак с минуса на плюс, а функция характер с убывания на возрастание.

1)Найдем производную,приравняем к 0,чтобы найти критические точки.Определим знаки на интервалах,для определения убывания и возрастания.
f`(x)=3x²-12x-36=3(x²-4x-12)=0
(x²-4x-12)=0  по теореме Виета
x1+x2=4 U x1*x2=-12⇒x1=-2 U x2=6
               +                  _                    +
________________________________________
возр                -2     Убыв         6  возр
возр  x∈(-≈;-2) U (6;≈)
2)При нахождении первообразной степень увеличиваем на 1 и на этот показатель делим неизвестное
F(x)= - 6 - 3x+C= - 2[tex] x^{3} - 3x+C
3)Делаем тоже самое , что в 1.Смена знака с минуса на плюс-минимум
f`(x)=4 -1/x=(4x-1)/x=0
4x-1=0⇒4x=1⇒x=1/4
       _              +
_____________________
                1/4
               min
ymin(1/4)=4*1/4-ln1/4+1=1-ln1+ln4+1=2+ln4
(1/4;2+ln4)