Після додавання нерівностей _21< -15 і 3, 3< 0, 7

Как я понимаю, на листочке эту задачу не решить. По крайней мере, это будет мучительно долго. А на компьютере - запросто.

Итак, решение. Т.к. наибольшее слагаемое равно 12, то нам надо посчитать количество разбиений числа 64-12=52 на 9 натуральных слагаемых. Т.е., если обозначим через p(N,M,n) количество разбиений числа n на НЕ БОЛЕЕ, чем M слагаемых, каждое из которых не превосходит N, то нам надо найти p(12,9,52)-p(12,8,52). Если у нас есть произвольное разбиение числа n на РОВНО M слагаемых, где каждое не больше N, то вычитая из каждого такого слагаемого 1, мы получим разбиение числа n-M на НЕ БОЛЕЕ, чем M слагаемых, где каждое слагаемое уже не больше N-1. И в обратную сторону тоже верно.  Т.е. имеет место рекуррентное соотношение p(N,M.n)-p(N,M-1,n)=p(N-1,M,n-M). Его уже достаточно для вычисления p(N,M.n) для произвольных N,M,n. Остается только заметить, что если NM<n или n<0, то p(N,M,n)=0, и если  n=0 или NM=n, то p(N,M,n)=1. В ручную применять это рекуррентное соотношение для наших чисел очень долго, но на компьютере, например в программе MAPLE следующий рекурсивный алгоритм мгновенно находит ответ:

p:=proc(N,M,n)
if (n<0) or (N*M<n) then return 0; fi;
if (n=0) or (N*M=n) then return 1; fi;
return p(N,M-1,n)+p(N-1,M,n-M);
end proc:

Получаем p(12,9,52)-p(12,8,52)=p(11,9,43)=4447. Так что ответ здесь будет 4447.

1. log₅(x²-12)-log₅(-x)=0
ОДЗ:
{x²-12>0    {x<-2√3
                   x>2√3    ⇒x<-2√3
-x>0           x<0 
             
log₅(x²-12)=log₅(-x)
x²-12=-x
x²+x-12=0
x₁=-4, x₂=3 посторонний корень
ответ: х=-4

2. lg(x+6)-lg√(2x-3)=lg4
ОДЗ:
{x+6>0      {x>-6
 2x-3>0      x>1,5   x∈(6;∞)

lg(x+6)=lg4+lg√(2x-3)
lg(x+6)=lg(4*√(2x-3))
x+6=4√(2x-3)
(x+6)²=(4*√(2x-3))²
x²+12x+36=32x-48
x²-20x+84=0
x₁=2 посторонний корень
x₂=14
ответ: х=14

4. log₁/₂ (10/(7-x))=log₁/₂ x
ОДЗ: 
{10/(7-x)>0     {x<7
7-x≠0              x≠7
x>0                  x>0. x∈(7;∞)

10/(7-x)=x
x²-7x+10=0
x₁=2,x₂=5
2∉(7;∞). 5∉(7;∞)
ответ: корней нет