Решите уравнение: 18/x^2-9 = x/x+3 + 4/x-3.

.................................

18/(х+3)(х-3)-х/х+3-4/х-3=0
18-х^2+3x-4x-12/(x+3)(x-3)=0
-x^2-x+6/(x+3)(x-3)=0
x^2+x-6/(x+3)(x-3)=0
(x+3)(x-2)/(x+3)(x-3)=0
x не равен 3, х не равен -3
х-2=0
х=2
Здесь использована формула разность квадратов. Привели к общему знаменателю. Решили квадратичное уравнение по теореме Виета. Сделали анализ, что делить на нуль нельзя и исключили лишние корни.

Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители
(x- y)(x^2 + xy + y^2) = 37
Заметим, что для любых целых x и y  выражение x^2 + xy + y^2 >=  0,
значит  x - y  должно быть >  0,  т.е. оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными.
Все делители числа 37:  1;  -1;  37; -37  ,  из  них   нам подходят только положительные, т.е.   1  и  37   = >
наше уравнение равносильно совокупности двух систем:
x - y = 1                                   или                x - y =  37            
x^2 + xy + y^2 = 37                                        x^2 + xy + y^2 = 1

1) система
y  = x - 1
x^2 + x(x - 1) + (x - 1)^2 = 37
x^2 + x^2 - х + x^2 - 2x + 1 = 37
3 x^2 - 3x - 36 =0
x^2 - x - 12 =0
х1+х2 = 1
х1х2 =  -12
х1 = 4  х2 = -3 
y1 = 3  y2 = -4

2) система
y  = x - 37
x^2 + x(x - 37) + (x - 37)^2 = 1
x^2 + x^2 - 37x  + x^2 - 72x + 1368= 0
3x^2  - 109x + 1368= 0
D = 11881 - 12*1368 = 11881 - 16416  < 0  - решений нет

ОТВЕТ:  (4; 3); (-3; -4)

1)а.Значение функции У=-2х+5 при х =0,5 находится подстановкой этого значения в формулу у = -2*0,5 + 5 = -1 + 5 = 4.
б. значение аргумента при у=-5:
-2х+5 = -5   2х = 10   х = 5. 
в. Чтобы узнать, принадлежит ли графику функции точки А(1;3)В(-1;6), надо подставить в формулу значение аргумента х1 = 1, х2 = -1  и сравнить значение функции и ординату точки. 
Если совпадают - то точка принадлежит графику функции.
у1 = -2*1 + 5 = -2 + 5 = 3   -  совпадают.
у2 = -2*(-1) + 5 = 2 + 5 = 7  - не совпадают.
2) График функции У=3х+4  - это прямая линия.
Координаты точек пересечения графика с осями координат определяются приравниванием х или у нулю.
3*0+4 = 4 = точка пересечения оси ординат (ось у)
3х+4 = 0   3х = -4   х = -4/3 = -1(1/3)  - точка пересечения оси абсцисс (ось х).
3) График функции у=кх проходит через начало координат.
Коэффициент к = dy/dx = -6 / 2 = -3.
График проходит через 0 и заданную точку.
4) Точка пересечения графиков определяется решением уравнения
-4х +1,3 = х - 2,7    
5х = 4
х = 4/5 = 0,8
Вторая координата находится подстановкой полученного значения х в формулу одной из прямых у = -4*0,8 + 1,3 = -3,2 + 1,3 = -1,9
или у = 0,8 - 2,7 = -1,9.
5) Параллельные графики имеют равные коэффициенты при х:
 графику У=-3х+12  параллельна прямая У=3х-5.