40 , 1 уравнение, с полным решением и не забывайте про проверку если она нужна! ​

сумма n последовательных нечетных натуральных чисел при n>1

1+3+5+7+...+(2n-1)=n^2

Доказательство методом математической индукции

База индукции

n=2. 1+3=2^2

Гипотеза индукции

Пусть для n=k утверждение выполняется, т.е. выполняется

1+3+5+7+...+(2k-1)=k^2

Индукционный переход. Докажем, что тогда выполняется утверждение и для n=k+1, т.е, что выполняется

1+3+5+7+...+(2k-1)+(2K+1)=(k+1)^2

1+3+5+7+...+(2k-1)+(2K+1)=используем гипотезу МИ=k^2+(2k+1)=k^2+2k+1=используем формлу квадрату двучлена=(k+1)^2, что и требовалось доказать.

По методому математической индукции формула справедлива.

Число n^2 при n>1 zвляется составным, оно делится на 1,n,n^2.

А значит сумма n последовательных нечетных натуральных чисел при n>1 является составным числом. Доказано

пусть у него первоначально было х руб...

сначала он отдал: х - (х/2 + 1) = х - х/2 - 1 = х/2 - 1 ---это осталось...

потом уплатил: х/2 - 1 - ((х/2 - 1)/2 + 2) =

= х/2 - 1 - х/4 + 1/2 - 2 = х/4 + 1/2 - 3 = х/4 - 2.5 ---это во второй раз осталось...

и, наконец, х/4 - 2.5 - ((х/4 - 2.5)/2 + 1) =

= х/4 - 2.5 - х/8 + 1.25 - 1 = х/8 - 3.5 + 1.25 = х/8 - 2.25 ---и это равно 0

х/8 = 2.25

х = 2.25*8 = 18 (руб) у крестьянина было первоначально

ПРОВЕРКА:

первому купцу отдал 18/2 + 1 = 10 (руб) => осталось 18-10 = 8 (руб)

второму купцу уплатил 8/2 + 2 = 6 (руб) => остальсь 8-6 = 2 (руб)

третьему купцу уплатил 2/2 + 1 = 2 (руб) => осталось 2-2 = 0