Отделите кратные множители многочлена f(x f(x) = 4x^5 − 16x^4 + 25x^3 − 19x^2 + 7x − 1. это решение как? ..

Каждой точке (х; у) графика у = f(x) соответствует единственная точка (х; - у) графика у =- f(x) и наоборот. Точки (х; у) и (х; - у) симметричны относительно оси ОХ. Значит, графики у =f(x) и y = -f(x) симметричны относительно оси ОХ.

Пример 1

Построить график функции у = - .

Решение

Строим график функции у = , а затем строим симметрично относительно оси ОХ.

Симметрия относительно оси ОУ (оси ординат)

Каждой точке (х; у) графика у = f(x) соответствует единственная точка (-х; у) графика у = f(-x), и наоборот. Но точки (х; у) и (-х; у) симметричны относительно оси ОУ, значит, графики у = f(x) и у = f(-x) симметричны относительно оси ОУ.

Пример 2

Построить график функции у = .

Решение

Строим график функции у =, а затем строим симметрично относительно оси ОУ.

Пример 3

Построить график функции у = -

Решение

Выполним ряд последовательных преобразований:

строим график функции у = ;

строим симметрично относительно оси ОУ, т. е. получаем график функции у = ;

строим симметрично относительно оси ОХ, т.е. получаем искомый график функции у = -.

Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси абсцисс

Пусть дан график функции у = f(x).

Чтобы построить график функции у = f(x+a), где а – некоторое данное число, достаточно график функции у= f(x) перенести параллельно направлении оси ОХ на расстояние в положительном направлении, если а<0, и в отрицательном направлении, если а>0.

Пример 4.

Построить графики функций у =(х - 3)² и у =(х + 1)².

Решение

Строим график функции у = х² (пунктиром). Переносим его дважды: в положительном направлении оси ОХ на расстояние, равное 3, и получаем график у = (х – 3)²; в отрицательном направлении оси ОХ на расстояние, равное 1, и получаем график у = (х + 1)².

Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси ординат

Пусть дан график функции у =f(x).

Чтобы построить график функции у = f(x) + a, где а – некоторое данное число, достаточно график функции у = f(x) перенести параллельно оси ОУ на расстояние в положительном направлении, если а >0, и в отрицательном, если а /I>0.

Пример 5.

Построить график функции у = 5+.

Решение

Строим график у = (пунктиром). Переносим его в положительном направлении оси ОХ на расстояние, равное 4, и получаем график у =, а затем переносим в положительном направлении оси ОУ на расстояние, равное 5, получаем искомый график у = 5 +.

Объяснение:

Сначала выведем формулу У(х)

(4x - 4)*y = - 4*x

y = - 4*x/(4*(x-1) = - x/(x-1) - функция для анализа.

1. Область определения функции - ООФ.

Не допускается деление на 0 в знаменателе.

x  -1 ≠ 0.   x≠ 1

D(y) =  R\{1} = (-∞;1)∪(1;+∞) - ООФ.

2. Вертикальная асимптота - x = 1 -  разрыв II-го рода.  

3. Пересечение с осями координат.

С осью ОХ: числитель равен 0.   X0 = 0 - нуль функции.

С осью ОУ: y(0) = 0.

4. Интервалы знакопостоянства.

Положительна: y(x)>0: X∈(0;1).

Отрицательна: y(x)≥0: X∈(-∞;0]∪(1;+∞).

5. Проверка на чётность.

y(-x) = х/(-x-1)  - функция общего вида.

6. Первая производная - поиск экстремумов.

y'(x) = -x/(x-1)² -1/(x-1) = 1/(x-1)² = 0

Корней нет. Разрыв при Х = 1.

7. Локальные экстремумы в точке разрыва..  

минимум:Ymin = lim{x-> 1-} . Ymin= -∞.

максимум:Ymax =  \lim{x-> 1+} y(x) = +∞

8. Интервалы монотонности.  

Производная положительная - функция возрастает во всем интервале существования..

Возрастает: X∈(-∞;1)∪[1;+∞).

9. Вторая производная - поиск точек перегиба.

y"(x) = - 2/(x-1)³ = 0

Корней нет.  

10. Поведение функции.

Выпуклая - "горка" - X∈(1;+∞).

Вогнутая - "ложка" - X∈(-∞;1)

11. Наклонная асимптота: y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = lim (-1/(x-1) =  0 - наклона нет.

b = lim(+∞)Y(x) - 0*x = -x/(x-1) =  -1 - сдвиг по оси ОУ.

Горизонтальная асимптота: y = -1.

12. Рисунок с графиками исследования - в приложении.