Найдите все тройки натуральных чисел k, m, n, удовлетворяющих соотношению 2^k + 3^m = 1+n . В ответ напишите максимальную из сумм m+n+k .

3(sin x + cos x) = 4sin x*cos x
Делим все на sin x*cos x
3(1/cos x + 1/sin x) = 4
1/sin x + 1/cos x = 4/3
Подставляем cos x = √(1 - sin^2 x)
1/sin x + 1/√(1 - sin^2 x) = 4/3
1/√(1 - sin^2 x) = 4/3 - 1/sin x 
Возводим в квадрат
1/(1 - sin^2 x) = 16/9 - 8/(3sin x) + 1/sin^2 x
9sin^2 x = 16(1 - sin^2 x)*sin^2 x - 8*3sin x(1 - sin^2 x) + 9(1 - sin^2 x)
18sin^2 x = 16sin^2 x - 16sin^4 x - 24sin x + 24sin^3 x + 9
16sin^4 x - 24sin^3 x + 2sin^2 x + 24sin x - 9 = 0
Получилось мрачное уравнение 4 степени.
Вольфрам Альфа показывает весьма странные корни
x1 = 2arctg(2 - √7) + 2pi*n
x2 = 2arctg(2 + √7) + 2pi*n
Как это решить - я понятия не имею.

а) Cреди двух последовательных натуральных чисел  n  и (n+1)

одно обязательно чётное, а значит кратно 2

Поэтому и произведение кратно 2

б)

n(n+3)

Если  n- чётное, то произведение кратно 2

Если n- нечётное, то есть n=2k+1, тогда n+3=2k+1+3=2k+4=2(k+2)- чётное  и стало быть кратно 2.

Значит и все произведение кратно 2.

в)

Cреди трёх последовательных натуральных чисел  n  и (n+1)  и (n+2)

одно обязательно чётное, а значит кратно 2

и одно кратно трём

Поэтому и произведение кратно 2·3=6

г)

Натуральное число n

-либо кратно 3, тогда все произведение кратное трем.

-либо при делении на 3 дает остаток 1, что можно записать:

n=3k+1, k∈N,

тогда

2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1) - кратно трем и произведение кратно трем.

-либо при делении на 3 дает остаток 2, что можно записать:

n=3k+2, k∈N

тогда

2n-1=2(3k+2)-1=6k+3=3*(2k+1) -кратно трем и произведение кратно трем.