Пусть неотрицательные числа x, y, z связаны соотношением x+y+z=1. докажите, что xy+yz+zx≤1/3.

x^2+y^2> =2xy (неравенство коши - между среднем арифмитическим и средним или из (x-y)^2> =, x^2-2xy+y^2> =0, x^2+y^2> =2xy )

y^2+z^2> =2xz

x^2+z^2> =2xz

сложив

2(x^2+y^2+z^2)> =2*(xy+yx+zx)

сократив на 2

x^2+y^2+x^2> =xy+yx+zx            (*)

 

по формуле квадарата тричлена, и исполльзуя неравенство (*)

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+zy+zx)> =xy+xz+xz+2(xy+zx+xz)=3(xy+yz+zx)

 

подставляя данное условие

1^2> =3(xy+yz+zx) или

1> =3(xy+zx+zy)

или xy+yz+zx≤1/3. что и требовалось доказать

 

Рисунок не могу. пусть af - х см, тогда fd - 5х см, имеем уравнение х + 5х = 18, 6х = 18, х = 3 см, af = 3 см, fd = 5·3 = 15 см. биссектриса делит  ∠с пополам, получаем ∠bcf = ∠fcd.  ∠bcf =  ∠cfd как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых вс и ad и секущей cf. тогда  δcdf равнобедренный, fd = cd, как стороны лежащие против равных углов. cd = 15 см.  по условию abcd параллелограмм, т.е. ab = cd, dc = ad. периметр p = 2(a + b) = 2(cd + ad) = 2(15 +18) = 66 (см)

ответ:

объяснение:

нужно заданные формулы представить в виде комбинации из x1+x2 и x1*x2.

a) x1^2 + x2^2 = (x1+x2)^2 - 2*x1*x2

b) x1*x2^3 + x2*x1^3 = x1*x2*(x2^2 + x1^2) = x1*x2*((x1+x2)^2 - 2*x1*x2)

c) x1/x2^2 + x2/x1^2 = (x1^3 + x2^3)/(x1*x2)^2 = (x1+x2)(x1^2-x1*x2+ x2^2)/(x1*x2)^2 = (x1++x2)^2 - 3*x1*x2)/(x1*x2)^2

d) x1^4 + x2^4 = (x1+x2)^4 - 4x1^2 - 6*x1*x2 - 4x2^2 = (x1+x2)^4 - 4((x1+x2)^2 - 2*x1*x2) - 6*x1*x2.

теперь остаётся подставить данные из теоремы виета.

x1+x2 = - b/a = - 8/3

x1*x2 = c/a = - 1/3

a) x1^2 + x2^2 = ((-8/3)^2 - 2(-1/3)) = 64/9 + 2/3 = 64/9 + 6/9 = 70/9

остальные точно также.