Контрольная работа №1 Тема «Дифференциальное исчисление» 1) Даны функции f(x), g(t), h(x a) Найдите производные этих функций. b) Составьте уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0. c) Найдите вторую производную функции h(x). d) Найдите ускорение материальной точки, движущейся прямолинейно по закону y=f(x), в конце первой секунды. 2) На рисунке изображен график функции y=f(x). Укажите: a) Промежутки, где производная функции положительна, отрицательна; b) Критические точки функции; c) Точки экстремума функции. 3) Для данной функции y=f(x) найдите: a) Область определения функции D(f). b) Производную и критические точки. c) Промежутки монотонности. d) Точки экстремума и экстремумы функции. e) Точки пересечения графика функции с осями координат и дополнительные точки. f) Постройте график функции.

Task/25855843

График функции y= -x² + bx + c пересекает ось у в пункте (0; 3). Наибольшее значении функции равно 7. Эта функция возрастает в интервале (-бесконечность; 2) и убывает в интервале (2; +бесконечность). 
Нарисуй функцию, следуй всем указаниям. Назови значения b и c .

y(x) = - x² + bx + c ; 
y(0) =  -0² + b*0 + c  =3 ⇒ c=3 . 
y(x) = - x² + bx + 3 = - (x - b/2)²+b²/4 +3
Координаты  вершина параболы  x₀ =  b/2 ; y₀ =b²/4 +3
Из условия "Наибольшее значении функции равно 7"  следует 
max(y) =y₀ =b²/4 +3 =7 ⇒ b =±4 , т.е. x₀ = b/2 =±2,а с условия
"Эта функция возрастает в интервале (-∞; 2) и убывает в интервале
(2; +∞) уточняем  b/2 = 2 ⇒ b=4 .* * * Если исходим  из условии  "Эта функция возрастает в интервале (-∞; 2) и убывает в интервале (2; +)",
то сразу определим   b/2 = 2 и max(y)=y₀ =b²/4 +3 =4²/4 =3 =4+3 =7 совпадает с условием_не мешает) ; в этом случае условия "Наибольшее значении функции равно 7"_лишнее * * * 

y = - x²+ 4x +3 
График этой функции пересекает ось в точках  (2 -√7 ; 0) и  (2+√7 ; 0)
* * * 2 -√7 и 2 -√7  корни уравнения - x²+ 4x +3 =0⇔x²- 4x - 3 =0 * * * 

Итак. Обозначим за S путь от A до B,за v(1)-скорость первой машины, за v(2)-скорость второй. За t(1)-время, сколько проходит 2/5 пути первая машина, t(2)-время за сколько проходит 2/15 пути вторая машина.
Тогда 0,4S/v(1) = t(1). 2S/15v(2) = t(2).При этом t(1)=t(2) + 2 по условию задачи.
Приравниваем: 2S/5v(1) = 2S/15v(2) + 2. Т. е. 2S/5v(1)=[2S +30V(2)]/15v(2).
Затем переносишь правую часть налево, приводишь к общему знаменателю, решаешь квадратное уравнение относительно двух переменных- v(1) и v(2).Выражаешь тем самым одну через другую. Один вариант убирается, т. к. отрицательный получается. Остается v(2)=2v(1) /3.
Затем воспользуемся их встречей. Они ехали 6 часов. Значит t=6.Это время одинаково для обоих. Они встретились значит расстояния, в сумме которые дают S.
Значит, S=6v(1) + 6v(2)=6[v(1)+v(2)]
Подставляешь вместо v(2) 2v(1)/3.Получаешь S=10v(1).Здесь 10-время. Т. е. первый пройдет этот путь за 10 часов. Затем вместо v(1) подставляешь 1,5v(2).Получается S=15v(2).Т. е второй автомобиль пройдет этот путь за 15 часов. Всё =)