lazaren-ko

26.09.2021

?>

(y²-2xy)dx+x²dy=0 диф. уравнение

Ответить

Ответы

POMILEVAVladimirovna269

26.09.2021

(y^2-2xy)dx+x^2dy=0

Разделим на :

$y^2-2xy+x^2\cdot\dfrac{dy}{dx}= 0$

Разделим на x^2 :

$\dfrac{y^2}{x^2} -2\cdot\dfrac{y}{x} +\dfrac{dy}{dx}= 0$

$\left(\dfrac{y}{x}\right)^2 -2\cdot\dfrac{y}{x} +y'= 0$

Замена:

$\dfrac{y}{x} =t$

$\Rightarrow y=tx$

$\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получим уравнение:

t^2 -2t +t'x+t= 0

t^2 -t +t'x= 0

t'x= t-t^2

$x\cdot\dfrac{dt}{dx} = t-t^2$

$\dfrac{dt}{ t-t^2} =\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

Чтобы найти интеграл, стоящий в левой части, подынтегральную дробь представим в виде суммы составляющих:

$\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{A}{t} +\dfrac{B}{1-t} =\dfrac{A(1-t)+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{A-At+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{(B-A)T+A}{t(1-t)}$

Дроби равны, знаменатели равны. Значит, равны и числители:

1=(B-A)t+A

Условие равенства:

$\begin{cases} A=1 \\ B-A=0 \end{cases}$

$\begin{cases} A=1 \\ B=A=1 \end{cases}$

Значит, дробь раскладывается на составляющие следующим образом:

$\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{1}{t} +\dfrac{1}{1-t}$

Возвращаемся к интегрированию:

$\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{ t}+\int\dfrac{dt}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

Для второй дроби выполним подведение под знак дифференциала:

$\int\dfrac{dt}{ t}-\int\dfrac{d(1-t)}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

Интегрируем:

$\ln|t|-\ln|1-t|=\ln|x|-\ln|C|$

$\ln\left|\dfrac{t}{1-t}\right|=\ln\left|\dfrac{x}{C}\right|$

$\dfrac{t}{1-t}=\dfrac{x}{C}$

Обратная замена:

$\dfrac{\frac{y}{x} }{1-\frac{y}{x} }=\dfrac{x}{C}$

$\dfrac{y }{x-y }=\dfrac{x}{C}$

$\dfrac{x-y }{y }=\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }-1=\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }=1+\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }=\dfrac{x+C}{x}$

$\boxed{y=\dfrac{x^2}{x+C}}$

Nertman45

26.09.2021

А 16 км В

> х км/ч ? (х + 9) км/ч <

1,5 ч = 90 мин = 90/60 = 3/2 ч

20 мин = 20/60 = 1/3 ч

Уравнение:

х · (3/2 + 1/3) + (х + 9) · 1/3 = 16

3/2х + 1/3х + 1/3х + 9/3 = 16

9/6х + 2/6х + 2/6х + 3 = 16

13/6х = 16 - 3

13/6х = 13

х = 13 : 13/6

х = 13/1 · 6/13

х = 6 (км/ч) - скорость пешехода

6 + 9 = 15 (км/ч) - скорость велосипедиста

ответ: 6 км/ч и 15 км/ч.

Проверка:

6 · (3/2 + 1/3) = 6 · 11/6 = 66/6 = 11 км - пройдёт пешеход за 1 ч 50 мин

15 · 1/3 = 15/3 = 5 км - проедет велосипедист за 20 мин

11 + 5 = 16 км - расстояние между пунктами

ИвановичБогословский280

26.09.2021

Село - - - - - - - - - - - - - - - - - 95 км - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Город

> х км/ч ? (х + 15) км/ч <

40 мин = 40/60 = 2/3 ч

1,5 ч = 90/60 = 3/2 ч

Уравнение:

х · (3/2 + 2/3) + (х + 15) · 2/3 = 95

3/2х + 2/3х + 2/3х + 30/3 = 95

9/6х + 4/6х + 4/6х + 10 = 95

17/6х = 95 - 10

17/6х = 85

х = 85 : 17/6

х = 85 · 6/17 = 5 · 6

х = 30 (км/ч) - скорость мотоцикла

30 + 15 = 45 (км/ч) - скорость автомобиля

ответ: 30 км/ч и 45 км/ч.

Проверка:

30 · (3/2 + 2/3) = 30 · 13/6 = 65 км проедет мотоцикл на 2 ч 10 мин

45 · 2/3 = 30 км - проедет автомобиль за 40 мин

65 + 30 = 95 км - расстояние от села до города

Ответить на вопрос

Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:

(y²-2xy)dx+x²dy=0 диф. уравнение

▲