Решите уравнение 8^x −3⋅2^x+2 +2^5 − x =0. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log45 ; 3].

x=1,5

Объяснение:

пусть , t>0, тогда:

t²-12t+32=0

D= 144-128= 16

t1= (12-4)/2= 4

t2= (12+4)/2= 8

1) 4ˣ=4

x1=1

2) 4ˣ=8

2²ˣ=2³

x2= 1,5

промежуток [log4(5);3], log4(5)≈1,16, следовательно подходит только корень x= 1,5

Task/24968563
Решите уравнение √(16 - x ) +√(x-14) =x²-30x +227              ответ: x=15 .

обозначаем f(x) = √(16 - x ) +√(x-14)    
D(f) : { 16 -x ≥0 ; x -14 ≤0 .⇔x∈[14;16]           * * * ООФ * * *
Очевидно  f(x) > 0,  т.к. 16 - x и  x -14  нулевое значение принимают при разных значениях переменного x .  * * * система 16 - x =0=x -14 не имеет решения * * * 
f '(x) =( √(16 - x ) +√(x-14) ) ' =  -1/2√(16 - x) +1/2√(x-14) =
1/2( √(16-x) - √(x -14) ) /2√(16 - x) *√(x-14)
f '(x) =0 ⇒√(16-x) - √(x-14)=0  ⇒x=15.
f ' (x)    +               -
14 15 16
f(x)     ↑      max    ↓           

maxf(x)    = f(15) =2 .   (1)
x∈[14;16]

g(x) =x²-30x +227 =(x-15)² +2 ≥2
min g(x) = g(15) =2 .  (2)

Из (1) и (2) следует  x=15 .

Можно и без применения производной :
f²(x) = (√(16 - x ) +√(x-14) )² =2+2√( (16 - x ) *(x-14) ) ≤ 2+(16 - x +x-14)=4 ,
равенство имеет место ,если 16 - x =x-14, т.е. при x=15.
Затем из f²(x) ≤ 4 ⇒ f(x)  ≤ 2 .                || f(x) >0 || 

2-ой Это не мое решение
( более искусственный, использован  частный случай неравенства Коши) * * * √ab ≤(a+b) /2 при a≥0 ,b ≥ 0 * * *
 ОДЗ :x∈[14;16] 
Оценим обе части равенства 
√(16-x ) =√(16-x )*1 ≤  (17-x)/2    (3) ; равенство, если 16 -x=1 ⇒x=15.
√(x-14)= √(x-14)*1   ≤ (x-13)/2     (4) ; равенство, если x-14=1  ⇒x=15. 
Из (3) и (4)  получаем √(16-x)+√(x-14) ≤ 2  * * * (17-x)/2 +(x-14)/2 =2 * * *

правая часть равенства x²-30x +227 =(x-15)² +2 ≥ 2
равенство опять , если x=15.
2 ≥ √(16-x ) +√(x-14) = x²-30x +227 ≥ 2 
равенство имеет место только при x=15.

15 грамм

Объяснение:

Обозначим первоначальную массу раствора как "х" грамм, тогда масса соли в этом растворе будет равна "0,3х" грамм.

После того как в раствор добавили 90 грамм соли, его масса стала равной "х + 90" грамм, а новая масса соли равна "0,7 * (х + 90)" или "0,3х + 90".

Составим уравнение.

0,7 * (х + 90) = 0,3х + 90,

0,7х + 70 = 0,3х + 90,

0,4х = 20,

х = 20 / 0,4 = 50 грамм.

Первоначальная масса раствора была 50 грамм.

50 * 30% = 50 * 0,3 = 15 грамм соли было в растворе первоначально.