Лісник вимірював висоту дерев на певній лісовій ділянці й одержав такі результати (у см) : 140; 210; 320; 150; 140; 210; 210; 120; 100; 140; 320; 150; 100; 210; 250; 240; 320; 140; 100; 250; 320; 140; 320; 120; 140. Запиши ранжований ряд даних вимірювання. Скільки утворилося варіант? Знайди частоту кожної варіанти. Склади таблицю, побудуй полігон частот та діаграму. Знайди відносну частоту варіанти 100 см. Знайди Моду, Медіану і середнє значення даних вимірювання

Task/27261174

Найти точки перегиба функции f(x) =ln (x^2+1) .
---
Если вторая производная при переходе через точку, в которой она не существует или равна нулю, меняет знак, то точка является точкой перегиба.

f '(x) =( ln (x²+1) ) ' = (1/(x²+1) ) *(x²+1) ' =2x/(x²+1) .  
f ''(x) =( f '(x) ) ' = ( 2x /(x²+1) ) ' =2( x/(x²+1) ) ' =
2*( x'*(x²+1) - x*(x²+1) ') / (x²+1)² =2* (x²+1 -2x²) /(x²+1)² =2*(1 -x²) /(x²+1)² =
2(1+x)(1-x)/(x²+1)² .

f ''(x) =0 ⇔(1+x)(1-x) =0  ⇒ x₁= -1 ,x₂ =1.

f ''(x)         " -"                    " +"                       " - "
(-1) (1)
f(x)    выпуклой           вогнутой                   выпуклой  

ответ:  -1 ; 1.

Области определения всех этих функций симметричны относительно начала отчета. т.е. х,-х принадлежат области определения.

у(-х)=(-х)⁸-(-х)²=х⁸-х²=у(х)- значит, функция у(х)=х⁸-х² четная.

у(-х)=(-х)⁵+(-х)³=-х⁵-х³=-(х⁵+х³)=-у(х)-значит, функция у(х)=х⁵+х³ нечетная.

у(-х)=(-х)²-(-х)=х²+х≠у(х), - у(-х)≠-у(х), значит, функция у(х)=х²-х ни четная, ни нечетная. Это функция общего вида.

Производная первой функции равна 8х⁷-2х=2х*(4х⁶-1)=

2х*(2х³-1)(2х³+1)=0, критич. точки о и ±∛0.5 Методом интервалов решим неравенство 2х*(2х³-1)(2х³+1)>0

-∛0.50∛0.5

-                        +                 -                   +

Точки х=±∛0.5- точки минимума, а х=0 - точка максимума.

Минимумы равны (±∛0.5)⁸-(±∛0.5)²=∛(0.5)⁸ - ∛0.5)²=

∛(0.5)²*(0.25-1)=-0.75∛0.25

максимум равен нулю.

Наибольшего значения функция не имеет. Наименьшее равно -0.75∛0.25

Для второй функции производная равна 5х⁴+3х²=0, критические точки х²(5х²+3)=0 только одна критическая точка нуль. но при переходе через нее производная знака не меняет , оставаясь положительной. Поэтому во всей области определения функция возрастает.

Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения у функции.

Для третьей функции находим х₀=1/2, у₀= 1/4-1/2=-1/4- это наименьшее значение функции, т.к. график функции - это парабола, ветви которой направлены вверх,  наибольшего значения у функции нет.