Решите методом сложения систему уравнений: 1) х+у=4, х+у=5; 2) 3х-7у=11, 6х+7у=16; 3) 4х+2у=5, 4х-6у=-7; 4) 6х+7у=2, 3х-4у=46; 5) 2х-3у=8, 7х-5у=-5; 6) 6х-7у=40, 5у-2х=-8.Решите быстрее, в расписанном формате, не кратком

 

0 1 −2

a) f (x, y) = x1 y1 +5x2 y2 +6x3 y3 +2x1 y3 +2x3 y1 +3x2 y3 +3x3 y2 ,  2 0 −1  .

3 −2 0

 f (x, y) = 2x1 y1 + 3x2 y2 + x3 y3 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + x1 y3 + x3 y1 + x2 y3 + x3 y2 ,

b) 

2 1 1

 −1 −3 1  .

1 2 −1

9.5. Даны два вектора a и b в унитарном(евклидовом) пространстве. Най-

ти сопряженный оператор к линейному оператору φ(x) = (x, a)b.

9.6. Найти сопряженный оператор к линейному оператору φ(x) = [x, a] в

пространстве геометрических векторов.

9.7. Пусть xOy декартова система координат на плоскости и φ проекти-

рование на ось 0x параллельно биссектрисе первой и третьей четверти.

Найти сопряженный оператор φ∗ .

9.8. Путь V пространство вещественных многочленов со скалярным про-

1

изведением (f, g) = i! ai bi , f (x) = ai xi и g(x) = bi xi . Доказать, что

сопряженный оператор к оператору дифференцирования в V совпадает с

оператором умножения на x. Найти сопряженный оператор к дифферен-

циальному оператору ψ(f ) = x3 f .

9.9. Пусть V пространство финитных функций на R ( финитная функция

– бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю вне некоторого

+∞

отрезка) со скалярным произведением (f, g) = −∞ f (x)g(x)dx. Найти со-

пряженный оператор к оператору дифференцирования D(f ) = f . Найти

сопряженный оператор к дифференциальному оператору ψ(f ) = x3 f .

9.10. Пусть V евклидово пространство вещественных n Ч n-матриц со

скалярным произведением (X, Y ) = TrXY t (см. задачу 7.11). Найти со-

пряженный оператор к оператору умножения φ(X) = AX на некоторую

матрицу A.

11

§10. Самосопряженные операторы

10.1. Найти диагональную форму и ортонормированный базис из соб-

ственных векторов для самосопряженного оператора, заданного в орто-

нормированном базисе матрицей:

   

1 2 −2 −1 2 −3

−2 3

a) , b)  2 1 −7  , c)  2 2 −6 

3 6

−2 −7 1 −3 −6 7

 √ √     

√0 2 − 2 4 −1 2 −2 1 4

d)  √ − 1 − 7  , e)  −1 4 −2  , f )  1 −2 4  ,

2 2 2

− 2 −2 −1

7

2

2 −2 7 4 4 13

   

0 0 0 1 0 1 1 1

0 0 1 0

 , h)  1 0 1 1 

 

g) 

0 1 0 0 1 1 0 1

1 0 0 0 1 1 1 0

3 2 + 2i 3 −i 3 2−i

k) , m) , n) .

2 − 2i 1 i 3 2+i 7

10.2. a) Доказать, что оператор φ(f ) = (x2 − 1)f + 2xf является само-

сопряженным оператором в евклидовом пространстве вещественных мно-

+1

гочленов относительно скалярного произведения (f, g) = −1 f (x)g(x)dx.

dk

b) Доказать, что многочлены Лежандра Qk (x) = dxk (x2 − 1)k составляют

ортогональный базис из собственных векторов оператора φ. Найти соб-

ственные значения для Qk (x).

§11. Ортогональные и унитарные операторы

11.1. Найти ортонормированный базис из собственный векторов для уни-

тарных операторов, заданных матрицами:

cos α − sin α 1 1+i 1

a) (α = kπ), b) √ .

sin α cos α 3 −1 1 − i

11.2. Найти каноническую матрицу и канонический канонический базис

ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном ба-

Из города М в город N, находящийся на расстоянии в 120 км от N, выехал автобус. Через 1 ч вслед за ним выехала легковая машина, скорость которой на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости автобуса и легковой машины, если они прибыли в город N одновременно.

Объяснение:

Например возьмем скорость автобуса за х , время 120x Тогда скорость машины будит х+20, время 120:(x+20)

120:x > 120:(x+20) на 1 час

120:x-120:(x+20)=1

120(x+20)-120x=x^2+20x

x^2+20x - 2400=0

D=10000

X1=40 X2=-60 не подходит по условию задачи

ответ 40 и 60 км/час