Додатнi числа x, y, z такi, що x+y=(y+z)^2, x+z=(y+x)^2, z+y=(x+z)^2 Знайдiть цi числа.

x1=y1=z1=0

x2=y2=z2=1/2          

Объяснение:

x+y=(y+z)^2,

x+z=(y+x)^2

z+y=(x+z)^2

Пусть для удобства :

x+y=a >=0

x+z=b>=0

z+y=c>=0

Тогда система принимает более удобный вид :

a=c^2

b=a^2

c=b^2

Из  положительности всех неизвестных следует  эквивалентное равенство :

a=c^2 =b^4 =a^8

a=a^8

a*(a^7-1) = 0

1) a1=0

  c^2=0 → c1=0

   b1=0^2 =0

1}x+y=0

2}x+z=0

3} z+y=0

Cложим 1 и 2

2x+y+z=0

2x=0

x=0

y=z=0  аналогично.

2) a^7-1=0

    a=1

    c^2=1 →  c=1   (отрицательные значения нам не подходят)

    b=a^2=1

1}x+y=1

2}x+z=1

3} z+y=1

Cложим 1 и 2

2x+y+z=2

2x=1

x=y=z=1/2 ( из симметрии задачи)

 

   Имеется такое простое решение: начнём с конца — после установки +4 мест в каждом ряду и добавлении +1 ряда посадочных мест стало 420, математически: Х*Y=420 - имеем одно уравнение.
   Тогда “до реконструкции” было X-4 мест в каждом ряду и Y-1 рядов, формулой: (X-4)*(Y-1)=320 - имеем систему уравнений, решая которую, получаем X1=20; Y1=21; X2=84; Y2=5. Странноватый расклад с 5-ю рядами по 84 места можно оставить в качестве диковинки, логичнее предпочесть вариант: стало 21 ряд по 20 мест в каждом.

Пусть х мест было  в каждом ряду, тогда количество рядов было 320/х . После того, как зрительный зал увеличили мест стало  (х+4) , а рядов 320 / х + 1
Составляем уравнение по условию задачи:
(х+4) * ( 320/х + 1)  = 420
х *320/x+4*320/x+x+4=420
320+1280/x+x+4=420 (умножим на x)
320x+1280+x²+4x=420x
324х+х²+1280-420х=0
х²-96 х +1280 = 0
D= b2-4ac=9216 - 4*1280 = 9216 -5120=4096
х1=(96+64) / 2 =80    
х2 =(96-64) / 2 =16
320/16 + 1 = 21 ряд   или  320/80+1=5 ряда
(т.е. два варианта ответа: 21 ряд по 20 мест или 5 рядов по 84 места).
ответ: 21 ряд (5 рядов).