Пусть y(x) - решение задачи Коши y′–ytgx=sinx, y(0)=1. Найти y(π) - s777tver109

ВадимСмирнов116

15.01.2021

$y'-y{\rm tg}\, x=\sin x$

Домножаем к левой и правой частям дифференциального уравнения на $\cos x$ , имеем $y'\cdot \cos x-y\cdot \sin x=\sin x\cos x$ . Левую часть уравнения можно представить в виде:

$y'\cdot \cos x+y\cdot (\cos x)'=\sin x\cos x$

Замечаем, что левая часть последнего диф. уравнения это дифференцирование произведения двух функций и в правой части применяем синус двойного угла.

$\Big(y\cdot \cos x\Big)'=\frac{1}{2}\sin 2x$

$y\cos x=\int \frac{1}{2}\sin 2xdx\\ \\ y\cos x=-\frac{1}{4}\cos 2x+C\\ \\ y=\Big(C-\frac{1}{4}\cos 2x\Big)\cos x$

Осталось найти частное решение, подставив начальные условия

$1=\Big(C-\frac{1}{4}\cos0\Big)\cdot \cos 0\\ \\ 1=C-\frac{1}{4}\\ \\ C=\frac{5}{4}$

Частное решение данного диф. уравнения: $y=\Big(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cos 2x\Big)\cos x$

$y(\pi)=\Big(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cos(2\cdot \pi)\Big)\cdot \cos \pi =\Big(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cdot 1\Big)\cdot (-1)=-1.$

bas7572513

15.01.2021

В решении.

Объяснение:

1) Область определения - это проекция графика функции на ось Ох.

Обозначается как D(f) или D(у).

Область определения параболы - множество всех действительных чисел, потому что она проецируется на любую точку оси Ох.

Обычно запись: D(f) = R или D(f) = (-∞; +∞).

2) Область значений - это проекция графика на ось Оу.

Обозначается как E(f) или E(y).

Область значений параболы определяется координатами вершины, конкретно у₀, значение у вершины параболы.

Если коэффициент перед х отрицательный, ветви параболы направлены вниз, область значений Е(f) будет (-∞; у₀], то есть от вершины параболы вниз до - бесконечности.

А если коэффициент перед х положительный, ветви параболы направлены вверх, область значений Е(f) будет [y₀; +∞), то есть от вершины параболы вверх до + бесконечности.

Проще говоря, область определения - это значения х, при которых парабола существует, а область значений - значения у, в каких пределах парабола существует.

3) Определить.

Область определения квадратичной функции (график парабола) - множество всех действительных чисел, R, смотри выше.

Область значений: найти координаты вершины параболы, сначала х₀ по формуле х₀= -b/2a, потом подставить вычисленное значение х в уравнение параболы и вычислить у₀.

Теперь можно определить область значений параболы, от вершины вниз до - бесконечность, или от вершины вверх до + бесконечности.

Прикладываю небольшую иллюстрацию.

Andrei Morozov

15.01.2021

1
a)f`(x)=√(x²-1)+2x(x-1)/2√(x²-1)=(x²-1+x²-x)/√(x²-1)=(2x²-x-1)/√(x²-1)
f`(2)=(8-2-1)/(√(4-1)=5/√3
b)y`=-1/√(1-(2x-1)³/3)*2/√3=-2√3/√3*√(2-4x²+4x)=-2/√(2-4x²+4x)
2
y=x³-6x²+9
D(y)=R
y(-x)=-x³-6x²+9 ни четная,ни нечетная
(0:9)-точка пересечения с осью оу
y`=3x²-12x=3x(x-4)=0
x=0 x=4
+ _ +
(0)(4)
возр x∈(-∞;0) U (4;∞)
убыв x∈(0;4)
ymax=y(0)=9
ymin=y(4)=-31
доп.точки
y(-1)=2
y(1)=4
y(5)=-16
график во вложении
3
1)Sx²dx/√(x³-5)=1/3Sdt/√t=2t/3=2√(x³-5)/3+C
t=x³-5⇒dt=3x²dx
2)S(4-3x)*e^3xdx=S(4e^3x-3x*e^3x)dx=-3Se^3x*xdx+4Se^3xdx=
=-e^3x*x+e^3x/3+4e^3x/3=-e^3x*x+5e^3x/3=e^3x(5/3-x)+C
В 4 в условии ошибка

Пусть y(x) - решение задачи Коши y′–ytgx=sinx, y(0)=1. Найти y(π)

Ответы

Ответить на вопрос

Ваше имя (никнейм)*

Email*

Комментарий*