Найдите наибольшее значение функции

sin(2x+π/2)=cos2x

-1≤cos2x≤1

-2≤2cos2x≤2

5-2≤5+2cos2x≤2+5

3≤5+2cos2x≤7

Наибольшее значение функции равно 7

Ну допустим.
1. Задание с модулями  Конечно, решаем графически. Строим график , я думаю, тут легко - смещение на 3 ед. влево по OX, график - "галка". Второй график зависит от параметра и тут рассматриваем
1)a<0. Получается, что график лежит в нижней полуоси, что нам не подходит, точек пересечения не будет
2)a=0. Тогда , корень один, подойдёт.
3)a>0. А вот тут надо внимательно, возможен случай, когда точек пересечения 2, возможен - когда 1 точка. Очевидно, что, нужно, чтобы левая часть "галки" параметрического графика была либо параллельна левой части "галки" y=|x+3| нужно подумать, какой угловой коэффицент у=|x+3| 
Он равен 1 или -1 в зависимости от значения функции, то у нас a или -a. Мы берем -1 и -a (у "левых" частей так), . В итоге получаем, что a=0, a=1. Иначе (a>1) будут 2 точки пересечения
2. Решим графически, , строим обычную параболу , только сместим её на 3 ед. вправо по OX.
Второй график  можно построить , посчитать несколько значений, потом сместить график на 4 ед. вправо по OX (он до переноса располагался во 2 и 4 четвертях, так как есть знак "-"). Есть красивый корень x=-2
Все графики  в файлах.
ответ: 1)a=0, a=1; 2)x=-2

Корень пятой степени равен -2   возведем обе части в степень 5.
2x-7=(-2)^5=-32      2x=-32+7=-25     x=12.5

выражение в знаменателе ≠0   5х-8≠0    х≠8/5
5х-8>0← под корнем число большее 0 →x>8/5

t+5=√(2t²+19t+43)
t+5≥0   →   t≥-5
возводим обе части в квадрат → t²+10t+25=2t²+19t+43→
t²+9t+18=0   корни по виетту t1=-3   t2=-6 этот корень меньше -5 и не годится.
ответ  -3

разность дробей в примере 4 находим используя формулу разности квадратов.
(2х^0.5-3y^0.5-2x^0.5-3y^0.5)/(4x^1-9y^1)=-6y^0.5/(4x-3y)
умножим  -6y^0.5*(2x-9y/2)/(4x-9y)=-6y^0.5(4x-9y)/2(4x-9y)=-3y^0.5=
=-3√y