49. В одной координатной плоскости постройте графики функций и найдите координаты точек пересечения графиков. 1) f(x)=x³ и f(x)=x3) f(x)=x² и f(x)=x+250. 1, 3 номер ​

7.5) 1) Производная дроби как функции определяется по формуле:

(fg) ′ = (f′⋅g - f⋅g′)g².

f' = (0 - 1*(-2x + 2))/((-x² + 2x - 3)²) = (2(x - 1))/((-x² + 2x - 3)²).

Приравняем производную нулю (достаточно числитель):

2(х - 1) = 0.

Получили критическую точку х = 1.

Находим знаки производной левее и правее этой точки:

х =          0               1                2

y' =  -0,2222       0     0,2222 .

Как видим, в точке х = 1 производная меняет знак с - на +.

Это минимум функции у = 1/(-1² + 2*1 - 3) = -(1/2).

2) Если под корнем находится сложная функция , то производная от корня этой функции будет равна: единице, деленной на два таких же корня и умноженной на производную подкоренного выражения, то есть : y' = (1/(2√(2 - x))*(-1) + (1/(2√(x + 1))*1 =

            =  (1/2)*((1/(2√(x + 1))) - (1/(2√(2 - x =

           = (1/2)*((1/(√(2 - x) - √(x + 1))/(2√(x + 1))) - (1/(2√(2 - x)).

Приравняем нулю (числитель): √(2 - x) - √(x + 1) = 0.

√(2 - x) = √(x + 1). Возведём в квадрат: 2 - x = x + 1.   2х =1.     х = 1/2.

Это критическая точка х = (1/2).

х =              0                 1/2                     1

y' =     0,14645          0            -0,14645 .

В точке х = (1/2) максимум функции: у(1/2) = √6.

ОДЗ :    х² - 5х - 23 ≥ 0
             2х² - 10х - 32 ≥ 0
Решение системы двух неравенств не так  просто, поэтому при нахождении корней достаточно сделать проверку.
Подставить корни в систему неравенств или подставить корни в уравнение

Так как
2х²-10х-32=2(х²-5х-16)
то применяем метод  замены переменной

х²-5х-23=t    ⇒   x²-5x=t+23
x²-5x-16=t+23-16=t+7

Уравнение примет вид
√t + √2·(t+7)=5

или

√2·(t+7) = 5 - √t

Возводим обе части уравнения в квадрат
При этом правая часть должна быть положительной или равной 0
(  (5 - √t)≥0    ⇒√ t ≤ 5    ⇒  t ≤  25)

2·( t + 7) = 25 - 10 √t + t

или

10·√t = 25 + t - 2t - 14

10·√t = 11 - t

Еще раз возводим в квадрат, при условии, что 11 - t ≥ 0    t ≤ 11
Получаем уравнение

100 t = 121 - 22 t + t², при этом    t ≤ 11

t² - 122 t + 121 = 0

D=122²-4·121=14884 - 484 = 14400=120

t₁=(122-120)/2= 1     или    t₂= (122+120)/2 = 121  не удовлетворяет                                                          условию ( t ≤ 11)

возвращаемся к переменной х:

х² - 5х - 23 = 1         

х² - 5х - 24 = 0         
D=25+96=121=11²             
x₁=(5-11)/2=-3                      
х₂=(5+11)/2=8                      

Проверка
х = - 3         √(9 +15 - 23) + √2·(9 +15 - 16) = 5 - верно    1+4=5

х = 8            √(64 - 40 - 23) + √2·(64-40 -16) = 5 - верно    1+4=5

ответ. х₁=-3    х₂=8