ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ №3 (1, 2, 3)

Максимальное значение функции равно 125, а минимальное значение равно -131.

Объяснение:

Чтобы найти максимальное и минимальное значение функции y = x^5 - 5x^4 + 5^3 на заданном отрезке [0, 2], нужно вычислить значения функции в конечных точках отрезка и в точках, где производная функции равна нулю.

Подставим x = 0:

y(0) = 0^5 - 5(0)^4 + 5^3 = 0 - 0 + 125 = 125

Подставим x = 2:

y(2) = 2^5 - 5(2)^4 + 5^3 = 32 - 5(16) + 125 = 32 - 80 + 125 = 77

Теперь найдем точки, где производная функции равна нулю:

y'(x) = 5x^4 - 20x^3

Для нахождения таких точек решим уравнение 5x^4 - 20x^3 = 0:

5x^3(x - 4) = 0

Отсюда получаем две точки: x = 0 и x = 4.

Теперь вычислим значения функции в этих точках:

y(0) = 0^5 - 5(0)^4 + 5^3 = 125

y(4) = 4^5 - 5(4)^4 + 5^3 = 1024 - 5(256) + 125 = 1024 - 1280 + 125 = -131

Таким образом, на отрезке [0, 2] максимальное значение функции равно 125, а минимальное значение равно -131.

Для знаходження найбільшого та найменшого значення функції на вказаному відрізку, ми можемо скористатися тим, що функці y = x^5 - 5x^4 + 5^3 є неперервною на відрізку [0, 2].ому, за теоремою Вейєрштрасса, на цьому відрізку вона досягає свого максимального та мінімального значення.

Для того, щоб знайти ці значення, ми можемо взятихідну від функції та знайти її нулі на відрізку [0, 2]. Значення функції в точках,е похідна дорівнює нулю, будуть критичними точками, в яких функця досягає свого максимального та мінімального значення.

y = x^5 - 5x^4 + 5^3

y' = 5x^4 - 20x^3

Розв'язуємо рівняння y' = 0:

5x^4 - 20x^3 = 0

5x^3(x - 4) = 0

Таке рівняння має два розв'язки на відрізку [0, 2]: x = 0 та x = 4. Також, функціясягає свого максимального значення на кінцях відрізку [0, 2] та в китичній точці x = 4/5.

y(0) = 5^3 = 125

y(4/5) = (4/5)^5 - 5(4/5)^4 + 5^3 ≈ 38.4

y(2) = 2^5 - 5(2)^4 + 5^3 = -3

Отже, найбільше значення функції на відрізку [0, 2] дорівнює 125, а найменше значення дорівнює -3.

Объяснение: