решить.Задача связана с тригонометрией

a₁+a₂+a₃ =15.
b ; bq , bq² ;    
b+ bq +bq² =(a₁+1) +(a₂+4) +(a₃+19) =(a₁+a₂+a₃)+1+4+19 =15 +24 =39. 
b -1 ; bq - 4 ; bq² - 19 → составляют  арифметическую  прогрессию
--
{ 2(bq -4) = (b -1) +(bq² - 19)  ; b(q² + q +1) =39 . ⇔
{  b(q² -2q +1) =12  ; b(q² + q +1) =39 .       [ || b =12/(q -1)²  || 
(q² + q +1) / (q² -2q +1) =39/12 ⇒4(q² + q +1) =13(q² -2q +1) 
9q² -30q +9 =0 ;
3q² -10q +3 =0      D/4 =5² -3*3 =25 -9 =16 =4²   || q² -(1/3+3)q +(1/3) *3=0 ||  
q₁ =(5 - 4)/3 =1/3 ⇒ b₁ = 12/(q₁ -1)²  12/(1/3 -1)² =12*9/4 =27 .

a₁=b₁ -1 =27 -1=26 ;
a₂=b₁q₁ - 4 = 27*1/3 -4 = 5 ;
a₃=b₁q₁² - 19 = 27*(1/3)² -19 =3 -19 = -16.

q₂ =(5+4)/3 = 3 ⇒ b₂ =12/(q₂  -1)² =12/(3  -1)²  = 3 .

b₂ -1 =3 -1=2 ; 
b₂q₂ - 4 = 3*3 - 4 = 5 ;
b₂q₂² - 19 = 3*3² -19 =8.


ответ :  26 ; 5 ; -16  или 2 ; 5 ; 8.

В том случае, если речь идет о прямоугольнике:

Обозначим ширину:  y см. Тогда длина:  x = y + 4 (см)

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на его ширину:

       S = xy = y(y + 4) = y² + 4y

       y² + 4y - 96 = 0                D = b²-4ac = 16+384 = 400

       y₁ = (-b -√D)/2a = (-4-20):2 = -12 - не удовлетворяет условию.

       y₂ = (-b +√D)/2a = (-4+20):2 = 8 (см) - ширина прямоугольника

       x = y₂ + 4 = 8 + 4 = 12 (см) - длина прямоугольника

ответ: длина прямоугольника 12 см.