Докажите, что уравнение 3x² + 2 = y² нельзя решить в целых числах.

Для доказательства этого утверждения мы воспользуемся методом противоречия. Допустим, что уравнение 3x² + 2 = y² имеет решение в целых числах.

1. Рассмотрим уравнение в модулях: 3x² + 2 ≡ y² (mod 3). Чтобы понять, при каких значениях x и y решение существует, рассмотрим все возможные остатки при делении на 3 у квадратов целых чисел:
- Остаток 0: 0² ≡ 0 (mod 3) и 3² ≡ 0 (mod 3).
- Остаток 1: 1² ≡ 1 (mod 3) и 4² ≡ 1 (mod 3).
- Остаток 2: 2² ≡ 1 (mod 3) и 5² ≡ 1 (mod 3).

2. Теперь подставим значения модуля в исходное уравнение и рассмотрим возможные комбинации остатков x² (mod 3) и y² (mod 3):
- 3x² + 2 ≡ 0 (mod 3) и y² ≡ 0 (mod 3). В этом случае получаем, что 2 ≡ 0 (mod 3), что невозможно.
- 3x² + 2 ≡ 1 (mod 3) и y² ≡ 1 (mod 3). В этом случае получаем, что 2 ≡ 1 (mod 3), что также невозможно.
- 3x² + 2 ≡ 1 (mod 3) и y² ≡ 0 (mod 3). В этом случае получаем, что 2 ≡ 1 (mod 3), что также невозможно.
- 3x² + 2 ≡ 0 (mod 3) и y² ≡ 1 (mod 3). В этом случае получаем, что 2 ≡ 1 (mod 3), что также невозможно.

Во всех случаях мы приходим к противоречию, следовательно, уравнение 3x² + 2 = y² не имеет решений в целых числах.