Дана функция у = 0, 5х в 4 степени - 4х в квадрате. найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 3]

у = 0,5х⁴ - 4х²

у' = 2х³ - 8х

найдём точки, где у'  = 0

2х³ - 8х = 0

2х·(х² - 4) = 0

х₁ = 0 или х₂,₃ = ±2

1) найдём интервалы монотонности, для этого разобьём ось х на интервалы и определим знаки производной в этих интервалах

-2 2

у'(-3) = 2·(-27) - 8·(-3) = -30    у' < 0,  у убывает

у'(-1) = 2·(-1) - 8·(-1) = 6   у'  > 0,  у возрастает

у'(1) = 2·1 - 8·1 = -6    у'  < 0,  у убывает

у'(3) = 2·27 - 8·3 = 30   у' > 0,  у возрастает

итак, промежутки возрастания и убываня функции:

функция возрастает при х∈[-2, 0] и [2, +∞)

функция убывает при х∈(-∞, -2] и [0, 2]

 

2) найдём точки локальных экстремумов и экстремальные значения функции.

в точке  х = -2 производная меняет знак с - на +, поэтому это точка минимума

в точке  х = 0 производная меняет знак с + на -, поэтому это точка максимума

в точке  х = 2 производная меняет знак с - на +, поэтому это точка минимума

y min 1 = y(-2) = 0,5·16 - 4·4 = -8

y min 2 = y(2) = 0,5·16 - 4·4 = -8

y max = y(0) = 0,5·0 - 4·0 = 0

 

3) найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 3]

на концах интервала функция принимает значения:

у(-1) = 0,5·1 - 4·1 = -3,5

у(3) = 0,5·81 - 4·9 = 4,5

в указанном интервале [-1; 3] мы имеем один локальный максимум

y max = y(0) = 0

и один локальный минимум

y min = y(2) =  -8

сравнивая все четыре значения функции, видим, что

у наиб = у(3) = 4,5

у наим = y(2) =  -8

 

 

 

 

 

 

 

 

1)(4;2)

2)(2;4)

Объяснение:

⇒у=6-х; 8у+2х=3ху; 8(6-х)+2х=3х(6-х); 48-8х+2х-18х+3х²=0; 3х²-24х+48=0; х²-8х+16=0; Д=0; х=4; у=6-х=6-4=2; ответ: (4;2)

Сложим первое и второе уравнения, получим

2x=8

x=4

Тогда, выразив из первого уравнения y: y=6-x=6-4=2

2)пусть х=у-2.подставим это значение в уравнение у-2х=0 и решим его :

у-2(у-2)=0

у-2у+4=0

-у+4=0

-у=-4

у=4

Подставим полученное значение у в уравнение : у-х=2, 4-х=2 . 

Решив, получаем значение х= 2.Для проверки подставляем полученные зн-я х=2 и у=4 в исходные уравнения

Сначала приравняем к 0

z² + 6z - 7 = 0

D = (6)² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64

По теореме Виета:

z1 + z2 = -6

z1 * z2 = -7

z1 = -7

z2 = 1

Переформулируем под вид a(x-x1)(x-x2)..., имея уже корни

1*(x-(-7))(x-1) ≤ 0

Там надо нарисовать прямую и отметить на ней точки -7 и 1. И подставлять под х в уравнении наверху сначало число больше 1, потом больше -7 и меньше 1 (0, например), а в конце меньше -7. Затем над отрывками, откуда брались числа, пишешь +, если результат слева положительный, и -, если наоборот.

Могу показать на фото. Я сделала, у меня получился ответ: x принадлежит [-7; 1]

Объяснение: