Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы f (x) = 2x – ln x

f(x) = 2x – ln x

одз: х> 0

f'(x) = 2 – 1/x

f'(x) = 0

2 – 1/x = 0

2х = 1

х = 0,5

разбиваем область определения функции f(x) на интервалы и определяем знак производной f'(x) в этих интервалах

            -                                      +

0 0,5

f'(0,25) = 2-1/0,25 = 2-4 = -2    f'(x)< 0    ⇒   f(x)  убывает

f'(1) = 2-1/1 = 2-1 = 1   f'(x)> 0    ⇒   f(x)  возрастает

итак, при х∈(0; 0,5]  f(x)  убывает

                при х ∈[ 0,5; +∞) f(x) возрастает

в точке х = 0,5 производная меняет знак с - на + , следовательно, это точка минимума.

уmin = у(0,5) = 2·0,5 – ln 0,5  ≈ 1 - 0,693  ≈ 0,307

 

 

 

 

при x∈(0,1/2) f'(x)< 0  ⇒  функция убывает

при x∈(1/2,∞) f'(x)> 0 ⇒ функция возрастает

в точке 1/2 находится  минимум

 

Тк    производительности насосов относятся как 1: 2: 7, то  производительность 1-го  насоса х цистерны/час,  производительность 2-го  насоса 2х цистерны/час,  производительность 3-го  насоса 7х цистерны/час, при совместной работе цистерна заполняется керосином за 2 часа, поэтому   х+2х+7х=1/2;   х=1/20. производительность 1-го  насоса 1/20 цистерны/час, производительность 3-го  насоса 7/20 цистерны/час,    за 1 час 12 минут, т е 6/5 часа,  совместной работы первого и третьего насосов будет заполнено (1/20+7/20)*6/5=2/5*6/5=0,48=48 % цистерны. 

Объяснение:

6) log2 (log3 (2,25) + log3 (log2 (16))) = log2 (log3 (9/4) + log3 (4)) = log2 (log3 (9) - log3 (4) + log3 (4)) =

= log2 (log3 (9)) = log2 (2) = 1

7) log9 (tg 240°) = log9 (tg (240° - 180°)) = log9 (tg 60°) = log9 (√3) = log3 (√3) / log3 (9) = (1/2) / 2 = 1/4 = 0,25

Здесь я применил известное свойство:

log_a (b) = log_c (b) / log_c (a)

Причем новое основание с может быть любым, лишь бы с > 0 и с ≠ 1. Я взял с = 3.

8) log_b (a) = 2; log_a (b^3) = 3*log_a (b) = 3/log_b (a) = 3/2 = 1,5

Здесь я применил другое свойство:

log_a (b) = 1 / log_b (a)

9) Во-первых, log3 (18) = log3 (2*9) = log3(2) + log3(9) = log3(2) + 2

Обозначим log3 (2) = x, чтобы проще было писать.

[2x^2 - (x+2)^2 - x(x+2)] / (2x + x + 2) = [2x^2 - (x^2+4x+4) - (x^2+2x)] / (3x+2) = (-4x-4-2x) / (3x+2) =

= -(6x+4) / (3x+2) = -2

10) Решим по действиям.

А) 36^(log6 (5)) = 6^2^(log6 (5)) = 6^(2log6 (5)) = 6^(log6 (25)) = 25.

Это по определению логарифма: Логарифм это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число под логарифмом.

Мы возвели 6 в степень логарифма и получили число под логарифмом 25.

Б) 10^(1 - lg 2) = 10^1 : 10^(lg 2) = 10 : 2 = 5

В) log9 (36) = log3 (36) / log3 (9) = log3 (6^2) / 2 = 2log3 (6) / 2 = log3 (6)

3^(log3 (6)) = 6

Г) 2^(-3log3 (2) - 1) = 2^(-3log3 (2)) : 2

(2^(-3log3(2) : 2)^(log3(2)^(-1)) = 2^(-3log3(2) / log3(2)) = 2^(-3) = 1/8

Подставляем все найденное в исходный пример:

(25 + 5 - 6) * 1/8 = 24/8 = 3