При каких целочисленных значениях параметра р неравенство (х-2)(х-р)< 0 имеет три целочисленных решения?

выражение имеет два корня 2 и р.

т. к. неравенство не строгое, 2 и р не включаются в решение.

расмотрим первую ситуацию когда р> 2. методом перебора перечисляем три решения которые больше 2: 3, 4, 5, значит р=6.

второй случай р< 2, тогда решения: 1, 0, -1, р=-2.

ответ: -2, 6.

У= 2 +  3·|cosх|  известно, что косинус может принимать значения от - 1 до 1. -1 ≤ cosx ≤ 1 если косинус  стоит под знаком модуля, то 0 ≤ |cosх|  ≤1.  умножим все части неравенства на 3: 0  ≤  3|cosх|  ≤  3 прибавим 2: 0 + 2 ≤  2 + 3|cosх| ≤  3 + 2 2 ≤  2 +  3|cosх|  ≤  5 2 ≤ у  ≤  5 ответ: множество значений функции  у ∈ [2; 5] можно рассуждать немного иначе: наименьшее значение, которое может принимать |cosх|  - это 0. тогда наименьшее значение функции у(0) = 2 + 3·0 = 2 наибольшее значение, которое может принимать |cosх|  - это 1. тогда наибольшее значение функции у(1) = 2 + 3·1 = 5 функция принимает значения от 2 до 5. множество значений функции  у  ∈ [2; 5]

обозначим ребро меньшего куба: х дм.

тогда ребро большего куба: х + 3 дм.

объем меньшего куба:   v₁ = x³ (дм³),

            большего куба:     v₂ = (x + 3)³ (дм³)

так как разница в объеме кубов равна 117 дм³, то:

            v₂ - v₁ = 117

            (x + 3)³ - x³ = 117

            x³ + 9x² + 27x + 27 - x³ - 117 = 0

            9x² + 27x - 90 = 0

            x² + 3x - 10 = 0                   d = b²-4ac = 9+40 = 49

            x₁ = (-b-√d)/2a = -5   -   не удовлетворяет условию

            x₂ = (-b+√d)/2a = 2 (дм) - ребро меньшего куба

            х₂ + 3 = 5 (дм) - ребро большего куба

ответ: 2 дм; 5 дм.