Имеется два водных раствора кислоты. первый раствор содержит 20% кислоты, второй - 60%. смешало 5 литров первого раствора, 10 литров воды и некоторое количество второго раствора, получив 40% -ый раствор кислоты. сколько литров второго раствора было взято

Пусть было взято  х л 2-го раствора. тогда объем нового раствора станет равен (10+5+х) = (15+х)  л. объем чистой кислоты в новом растворе равен (15+х)*40%=0,4(15+х) л.  в 5 литрах  20%-ого раствора  объем чистой кислоты был равен 1 л. в 60%-ном растворе объем чистой кислоты равен 0,6х л. тогда при смешивании этих растворов с 10 л воды объем чистой кислоты составит в новом растворе (1+0,6х) л    составим уравнение: 0,4(15+х)=0,6х+1 6 +0,4х=0,6х+1 0,2х=5 х=25. ответ: 25 л второго раствора

распишем сначала сумму для удобства и потом подсчитаем предел

переходя к пределу при   мы получим

ответ:

в равенстве слева сумма имеет общий член

1) базис индукции:

2) предположим, что и для верно равенство

3) индукционный переход:

равенство верно для всех натуральных n. что и требовалось доказать.