Востроугольном треугольнике авс, высоты, проведенные из вершин в и с, образуют углы со стороной вс, угол в=34 градуса, угол с=43 градуса. найдите градусную меру угла а.

Обозначим  высоты  вк  и  се.  рассмотрим  треугольник квс: угол  вкс=90  угол  квс=34 находим   угол  ксв=56 рассмотрим  треугольник  есв: угол  сев=  90 угол  есв=43 находим  евс=  47 теперь  нам  известны  два  угла  большого  треугольника  авс находим  угол  а=180-47-56=77

Пусть первый острый угол равен х,тогда второй острый угол равен 2х. так как треугольник прямоугольный,то третий угол равен 90 градусов. сумма углов треугольника равна 180. составим уравнение: х+2х+90=180 3х=90 х=30(первый угол) 2*30=60(второй угол) меньшему углу соответствует меньшая сторона,значит катет противолежащий углу 30 град является меньшей стороной и равен половине гипотенузы. обозначим этот катет а, а гипотенузу с.  а=1/2с и по условию а+с=18. составим систему а=1/2с подставим во второе уравнение и решим его отдельно а+с=18 1/2с+с=18 с+2с=36 3с=36 с=12(гипотенуза) а=1/2*12 с=12 а=6(второй катет) с=12

Есть простое решение, использующее свойство медиан: три медианы треугольника делят его на 6 равновеликих (одинаковой площади, но не равных) треугольников. данный нам треугольник авс пифагоров (его стороны равны 3,4 и 5 см). sabc=6см² и каждый из треугольников имеет площадь, равную 1см². тогда искомое расстояние - высота треугольника (одного из шести)  с катетом на гипотенузе ab.  h=2s/аm = 2/(2,5)=0,8 см.но для практики решим эту через формулу медианы треугольника, свойство медиан, делящихся точкой пересечения в отношении 2: 1, считая от вершины и формулу герона для площади. пусть в треугольнике авс < с=90° и стороны ас=b=3, вс=а=4 и ав=с=5. найдем медианы ма и мc по формуле: ma=(1/2)*√(2b²+2c²-a²). ma=(1/2)*√(2*(3²)+2*(5)²-4²)=(1/2)*√(18+50-16)=√52/2. mc=(1/2)*√(2*(3²)+2*(4)²-5²)=(1/2)*√(18+32-25)=5/2. тогда отрезки медиан: ао=(2/3)*(√52/2)=2√13/3. ом=(1/3)*(5/2)=5/6. в треугольнике аом имеем (сразу к общему знаменателю): ам=5/2 = 15/6. ао=2√13/3=4√13/6. ом=5/6. периметр р=(20+4√13)/6. полупериметр р=(10+2√13/6). тогда по формуле герона  sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] имеем: sаom=√[(10+2√13)*(10+2√13-15)*(10+2√13-4√13)*10+2√13-5)]/36.  или: sаom=√[(10+2√13)*(2√13-5)*(10-2√13)*(2√13+5)]/36. мы видим, что у нас под корнем произведение разности квадратов: sаom=√[(10²-(2√13)²)*((2√13)²-5²)/36 = √(48*27)/36=36/36 =1. итак, мы пришли к началу: искомое расстояние (высота он, проведенная к основанию ам треугольника аом: он=2sbom/ам = 2/2,5 = 0,8. ответ: он=0,8см.p.s. решение для тех, кто не любит формулу герона, тем более, когда в полупериметре встречаются корни. чаще всего (если не всегда) приходим к произведению разности квадратов в подкоренном выражении.