Прямая, содержащая биссектрису угла b треугольника abc, пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке d. сторона ac=5 и делит отрезок bd в отношении 3: 1, считая от точки b. найдите периметр треугольника abc

Пусть е - точка пересечения ac и bd. пусть eb = x; ae = y; далее, стандартно, ab = c; bc = a; ac = b = 5; известно, что be = 3*x; надо найти a + b + c (то есть, на самом деле, a + c, b = 5) по свойству биссектрисы (b - y)/y = a/c; и по свойству пересекающихся хорд y*(b - y) = 3*x^2; отсюда получается (a/c)*y^2 = 3*x^2; кроме того, треугольники abe и bdc подобны (по двум углам, углы bae и bdc опираются на одну дугу bc, а углы abe и dbc равны, потому что be биссектриса), поэтому с/(3*x) = 4*x/a; или a*c = 12*x^2;   если разделить два последних равенства друг на друга, получится y^2/c^2 = 1/4; или y = c/2; b - y = a/2;   следовательно a/2 + c/2 = b; и a + b+ c  = 3*b = 15;

1. вс = (ac*sina)/sinb = (5√6  /  2√2)  / 1/2 = 2 *  (5√6  /  2√2) = 5√3 см.2. судя по всему, автор учебника  опечатался, а на самом деле хотел написать xoy и  xty. раз xty = 70°, то дуга, на которую он опирается, равна 140°. но на эту же дугу опирается и xty, поэтому этот угол равен 1/2 от 140° = 70°. если же автор не опечатался, то данную решить невозможно, т.к. угол xyo  может иметь много значений. 3. бисектриса острого угла в параллелограмме делит противоположную углу  сторону на 2 части, из которых одна часть равна соседней стороне (из-за создания  равнобедренного треугольника, основанием которого и является эта бисектриса). получается, что md = cd =  8 см. теперь найдём вторую неизвестную сторону параллелограмма: am + md = ad = 8+2 = 10 см. теперь найдём периметр: 8+10+8+10 = 36 см. 

Так как EF параллелен MP, то EF || MK. И таким же образом FK || EM. Получается, что четырехугольник MEFK – параллелограмм.

Если из двух сторон треугольники провести отрезок параллельный третьей стороне, то эти треугольники подобны (у них соответствующие углы равные). Поэтому ΔFKP ~ ΔNEF ~ ΔNMP (~ - знак подобия; только по центру, а не сверху).

Значит ∠FKP = ∠NMP = ∠NEF = 54°.

∠NMP = ∠EMK = 54°

Сумма двух углов параллелограмма, прилежащие к одной стороне, равна 180°.

∠EMK + ∠MEF = 180°

54° + ∠MEF = 180°

∠MEF = 180° - 54°

∠MEF = 126°

Противолежащие углы параллелограмма равны.

∠EMK = ∠EFK = 54°

∠MEF = ∠MKF = 126°