Середины сторон cd и ab параллелограмма abcd лежат в одной плоскости а, а сторона bc не лежит в этой плоскости. докажите, что прямая ad и плоскость а параллельны.

Теорема (про геометричне місце точок). Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних точок, є пряма, перпендикулярна відрізку, що з'єднує ці точки, і проходить через його середину.

Геометрическое место точек. Метод геометрических мест

Доведення. Нехай дано точки А і В, а точка С - середина відрізка АВ. Потрібно знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від точок А і В.

Доказ заснований на властивості серединного перпендикуляра до відрізка.

Серединний перпендикуляр СК, що належить прямій а, як і будь-яка точка цієї прямої, - є геометричне місце точок, рівновіддалених від А і В, так як СКꓕАВ.

Припустимо, що є ще точка К1, відстань до якої від А і В однаково.

Розглянемо ΔАК1В, він розбитий відрізком К1С на два трикутника: ΔАК1С і ΔК1СВ. Якщо ці трикутники рівні, то точка К1 теж знаходиться на однаковій відстані від А і В.

Через точку С проходять дві прямі СК і СК1. На підставі теореми 16 (про єдиність перпендикуляра з точки до прямої), якщо СКꓕАВ з побудови, то СК1 не може бути перпендикулярна АВ.

Так як з двох суміжних кутів (∟К1СА і ∟К1СВ) один повинен бути гострий, а другий - тупий, то ΔК1СА≠ΔК1СВ, отже, К1А≠К1В (є дві рівні сторони, АС=ВС і К1С- спільна, але немає рівних кутів між ними), значить, К1С - похила до АВ і АК1 ≠ ВК1.

Ромб имеет свойство, что в точке пересечения диагоналей — они делятся пополам, и также являются биссектрисами внутренних углов ромба.

То есть:

ΔMNK — правильный, как и пара треугольников (△NML; △NKL), (△MKL; △NMK):

KO == MO = MK/2 (свойство диагоналей ромба, читай выше) ⇒

MK = 3мм*2 = 6мм.

Так как: NK == MN == MK, то: NK == MN == MK = 6мм.

Шаг второй, найдём площадь, зная радиус вписанной окружности.

Как показано в картинке: r — перпендикулярен стороне NK, то есть — она является высотой ромба.

Формула вычисления площади ромба, зная сторону, и высоту — такова:  

Вывод: P = 24мм; S = 15.6мм².