Даны координаты вершин тетраэдра mabc: m(2; 5; 7), a(1; -3; 2), b(2; 3; 7), c(3; 6; 0) . найдите расстояние от точки м до точки о пересечения медиан треугольника авс.

Втреугольнике сde угол  сde = 90 градусов, т.к. de перп. dc по условию, тогда ес - гипотенуза. проведём из точки d к гипотенузе медиану dm, медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, тогда dm = ec/2=1.  треугольник dmc - равнобедренный, тогда углы mdc и  mcd равны, но сd - биссектриса, значит углы  всd и dcm также равны, т.е. углы mdc и bcd равны, значит медиана  dm параллельна стороне вс, т.к. равны накрест лежащие углы при секущей dс, тогда углы adm и авс равны как соответственные углы при параллельных прямых, тогда треугольники adm и авс подобны по 2 углам, значит ad/dm=ab/bc, но ав=вс, т.к. исходный треугольник равнобедренный, т.е. ad/dm=1, значит ad=dm=1.  интересная , , напряг извилины. 

Угол с - прямой, угол а=30 град, ав - гипотенуза, вс - катет, лежащий напротив угла а=30 град. найти вс. катет, лежащий напротив угла 30 град равен половине гипотенузы. гипотенузу ав принимаем за х, тогда катет вс=х/2. s=ас*вс  /  2, т.е. 1058 корень из 3 = ас*вс / 2. находим ас по т.пифагора: ас^2= ав^2 - вc^2= х^2 - (х/2)^2= х^2 - х^2  /  4. отсюда, ас = х*корень из 3 /  2. теперь в формулу площади (см.выше) подставляем полученное значение ас и вс. преобразовав, получаем уравнение: корень из 3 * х^2 / 8 = 1058 корень из 3. отсюда, х^2 = 8464, х = -92 и х = 92. х= -92 не удовлетворяет условию, т.к. сторона не может иметь отрицательное значение длины, поэтому отбрасываем это значение. итак, за х мы принимали гипотенузу ав, т.е.ав=92, значит, катет вс=х/2 = 92/2=46.