Даны координаты вершин четырехугольника abcd: а (–6; 1), в (0; 5), с (6; –4), d (0; –8 докажите, что abcd – прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Ас(6+6,-4-1) т.е. ас(12,-5) значит середина диагонали равна о(0,-1.5). вектор ав (0+6,5-1) т.е. (6, 4), вектор дс аналогично (6, 4). координаты векторов равны, значит вектора равны ав=дс. доказать что прямоугольник, воспользуемся теоремой пифагора |вд|^2=|ав|^2+|ад|^2. это выполниться, то четырехугольник прямоугольник.

Объяснение:

Выясним соотношения между катетами и гипотенузой треугольника. Пусть гипотенуза равна 2х, тогда один катет  равен х(тот, что лежит против угла в 30гр.), а другой 2х · cos 30 = 2x·0.5√3 = x√3/

Радиус вписанной в прямоугольник окружности равен

r = ( a + b - c):2, где а и b -катеты, а с - гипотенуза.

r = ( х + х√3 - 2х):2 = 0,5х(√3 - 1)

0,5х(√3 - 1) = 4

Отсюда х = 8/(√3 - 1)

Периметр треугольника: Р = 2х + х + х√3 = х(3 + √3). Полупериметр р = 0,5х(3 + √3)

Площадь треугольника S = r·p = 4·0,5х(3 + √3) = 2х(3 + √3)

Подставим х = 8/(√3 - 1) и получим

S = 2·(3 + √3)·8/(√3 - 1)

S = 16√3·(√3 + 1)/(√3 - 1)

Подробнее - на -

В  трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям сумма острых углов равна 90º. найдите площадь трапеции, если ее основания 2 и 18. диагональ вd делит трапецию на два прямоугольных треугольника.   сумма   острых углов   авсd равна 90º  ⇒   ∠ваd+∠всd=90º   в прямоугольном ∆ авd   ∠ваd+∠авd=90º   ⇒  ∠авd=  ∠всd   ⇒  прямоугольные  ∆ авd и ∆  всd подобны по равному острому углу.   из подобия треугольников следует отношение :   аd : вd=вd : вс  вd²=аd*вс=18*2=36  вd=6  вd- высота трапеции  s=bd*(ad+bc): 2  s=6*(18+2) : 2=60 (ед. площади)