Найти углы выпуклого пятиугольника если они пропорциональны числам 2: 4: 3: 4: 5​

катеты a, b

гипотенуза с

высота к гипотенузе h

1

площадь через катеты

s = 1/2*a*b = 11

a*b = 22

2

гипотенуза по т. пифагора

c² = a² + b²

3

периметр

p = a + b + c = 22

c = 22 - a - b

c² = a² + 2ab - 44a + b² - 44b + 484

вычтем отсюда выражение для гипотенузы по т. пифагора

0 = 2ab - 44a - 44b + 484

ab - 22a - 22b + 242 = 0

вычтем теперь выражение из пункта 1 для площади

- 22a - 22b + 220 = 0

- a - b = - 10

a + b = 10

b = 10 - a

4

теперь снова выражение для площади из пункта 1

ab = 22

a(10 - a) = 22

-a² + 10a - 22 = 0

a² - 10a + 22 = 0

решаем квадратное ур-е

a₁ = (10 - √(100 - 4*22))/2 = (10 - √12)/2 = 5 - √3

a₂ = (10 + √(100 - 4*22))/2 = (10 + √12)/2 = 5 + √3

оба решения подходят, но в силу симметрии уравнений по a и b являются просто перестановкой этих двух переменных

итак, катеты a = 5 - √3, b = 5 + √3

5

гипотенуза

c² = a² + b² = (5 - √3)² + (5 + √3)² = 25 - 10√3 + 3 + 25 + 10√3 + 3 = 56

c = √56 = 2√14

6

площадь через гипотенузу и высоту к ней

s = 1/2*c*h = 11

c*h = 22

2√14*h = 22

h = 11/√14 = 11√14/14

целочисленный прямоугольный треугольник, это так называемая "пифагорова тройка" : a,b,c ∈ n, для которой выполняется равенство: a² + b² = c²

согласно формуле евклида, для любой пары натуральных чисел m и n(m> n) целые числа: являются пифагоровой тройкой. причём, для примитивных троек разность m-n - нечетная.

итак, гипотенуза равна 2018 = 2 · 1009. так как 1009 - простое число, то пусть с = 1009

так как c = m² + n², то для числа 1009 нужно подобрать сумму квадратов.

1009 = 31² + 48 = 30² + 109 = 29² + 168 - не подходят

1009 = 28² + 15² ⇒ m = 28; n = 15

тогда a = m² - n² = 28² - 15² = 559; b = 2mn = 2·28·15 = 840

числа 559, 840 и 1009 - пифагорова тройка.

но в условии число 2018 вдвое больше числа 1009, значит искомая тройка 2·559; 2·840; 2·1009

прямоугольный треугольник имеет стороны 1118, 1680, 2018 см

проверка : 1118² + 1680² = 2018²

1 249 924 + 2 822 400 = 4 072 324

4 072 324 = 4 072 324

ответ: 1118 см, 1680 см, 2018 см