Впрямоугольнике одна сторона равна 10 , другая 12 . найдите площадь . заранее

Площадь  прямоугольника равна произведению двух сторон, значит 10 * 12 = 120

В ∆ АВС высоты АА1 и СС1 со сторонами  два прямоугольных треугольника АС1С и АА1С с общей гипотенузой АС.

Следовательно, вокруг них можно описать окружность с диаметром АС, на который опираются прямые углы АС1С и АА1С.  

Вписанные углы А1АС и А1С1С опираются на одну дугу А1С. Вписанные углы, опирающиеся на одну дуга, равны. ⇒  

∠СС1А1=∠САА1. Доказано.  

---------

Рассмотрим ∆ АОС1 и А1ОС.

Эти треугольники подобны по двум углам - прямому при С1 и А1 и вертикальному при точке пересечения высот О.  

Из подобия следует пропорциональность сторон:

С1О:А1О=АО:СО,  

откуда имеем пропорциональность тех же сторон в ∆ АОС и ∆ А1ОС1.  

Вертикальные углы при вершине О этих треугольников равны.  

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Следовательно, углы СС1А1 и САА1 равны. Доказано.

Объяснение:

пусть s - площадь авс, а искомая сторона ав = х.

радиус вписанной окружности, как известно равен:

r = s/p, где р - полупериметр, то есть в нашей : r = s/9

итак mn || ab. значит тр-ки cmn и abc - подобны и коэффициент подобия равен: mn/ab = 2/x

отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

s(cmn)/s = 4/x²

отсюда площадь тр-ка cmn:

s(cmn) = (4s)/x²

другая часть, на которую прямая mn разбила исходный тр-к авс, - это трапеция amnb с основаниями х и 2 и высотой равной диаметру вписанной окр-ти, то есть (2s)/9. ее площадь:

s(amnb) = ½*(x+2)*(2s)/9 = (x+2)s/9

теперь можем расписать площадь всего тр-ка авс:

s = s(amnb) + s(cmn)

или:

s = (x+2)s/9  +  (4s)/x²

сократив на s и домножив на общий знаменатель, получим уравнение для х:

х³ - 7х² + 36 = 0

данное кубическое уравнение легко раскладывается на множители:

(х³ - 6х²) - (х² - 36) = 0

х²(х - 6) - (х - 6)(х + 6) = 0

(х - 6)(х² - х - 6) = 0

(х - 6)(х - 3)(х + 2) = 0

корень  -2  отбрасываем

ответ: ав = 6  или  3 - оба корня подходят