Из точки a, не принадлежащей плоскости, проведена наклонная к этой плоскости. определите угол между это наклонной и плоскостью, если расстояние от точки a до плоскости а) равно ортогональной проекции наклонной б) в два раза меньше самой наклонной.

1. имеем равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой-наклонной, угол между  наклонной и плоскостью 45град 2.катет меньше гипотенузы в два раза, т.е. он лежит напротив угла 30град. наш искомый угол 30град

280

Объяснение:

пирамида - MPQS

QS = 13

РQ = 15

PS = 4

PS  = 37

MQ - высота пирамиды

из треугольника РQS

РQ² = (15)² = 225

PS² +QS² = (4)² + (13)² = 185

РQ²>PS² +QS² =>  

треугольник QSP тупоугольный

=>

высота, проведенная к стороне PS - лежит вне треугольника

(дополнительное построение)

QH⊥PS

QН - проекция MH на плоскость основания

=>

MH⊥PS - по теореме трех перпендикулярах

найдем половину периметра треугольника РQS

P = (PQ+PS+QS)/2 = (15+4+13)/2 = 32/2 = 16 ед.

Найдем площадь ΔАВС

(использована формула Герона)

кв.ед.

найдем высоту QH

с формулы для нахождения площади треугольника

S = 1/2 · PS · QH

QH = (2 · S)/PS = 48/4 = 12 ед.

Из прямоугольного треугольника MQH

по теореме Пифагора

c² = a² + b²

a² = c² - b²

MQ² = MH² - QH²

MQ = √(MH² - QH²)

MQ = √(37² - 12²) = √((37 - 12)·(37 + 12)) = √(25 · 49) = 5 · 7 = 35 ед.

Находим объем пирамиды

V = 1/3 · S · MQ = 1/3 · 24 · 35 = 280 ³ ед.

Находим отрезок MD: MD = OM/tg(a) = r/tg(a/2).

Для правильной треугольной пирамиды высота основания AD = 3MD.

h = AD = 3r/tg(a/2).

Отсюда находим ребро основания: a = AD/cos30° = (3r/tg(a/2)/(√3/2) = (√3r/(2tg(a/2)).

Тогда площадь основания So = a²√3/4 =  (3r²/(4tg²(a/2))*(√3/4) =

= (3√3r²/16tg²(a/2)).

Площадь боковой поверхности Sбок = So/cos(a) = (3√3r²/16tg²(a/2))/cos(a) = (3√3r²/16sin²(a/2))*cos(a)).

Получаем ответ: площадь полной поверхности равна S = So + Sбок =

= So + So/cos(a) = So(1 + (1/cos(a)) = (3√3r²/16tg²(a/2))* (1 + (1/cos(a)).