Вравнобедренном треугольнике abc с основанием ac угол b равен 66, угол c-48.прямая, параллельная aс, пересекает сторону bc в точке м и сторону ab в точке k.найдите углы треугольника кbm

проведем   по линейке прямую линию и отложим на ней циркуля одну из сторон треугольника – например в 8 см(ab). концы этого отрезка обозначим буквами и jстается найти такую третью точку, которая удалена от a на   7  см и от b на 9 см (или наоборот): это и будет третья вершина(c) треугольника со сторонами 7  см, 8 см и 9 см. чтобы эту точку разыскать, раздвигают сначала концы циркуля на 7  см и описывают окружность вокруг точки как около центра. все точки этой окружности отстоят от на 7  см; среди них нужно найти ту, которая отстоит от вершины на 9  см. для этого вокруг как около центра, описывают окружность радиусом 9 см. где обе окружности пересекаются, там лежат точки, удаленные от на 7  см и от на 9 см . наши окружности пересекутся в двух точках и соединив их в точке c и получим два треугольника и имеющие стороны в 8  см, в 7  см и в 9 см.

на моем рисунке угол сва больше всех, так как напротив него лежит сторона ас=9, угол асв-второй по величине угол, следовательно угол сав меньше всех.

если через любую апофему (высоту любой грани) и высоту пирамиды провести плоскость, то эта плоскость очевидно будет перпендикулярна боковой стороне основания (обе прямые, через которые проходит плоскость, препендикулярны боковой стороне основания).

поэтому проекция апофемы тоже препендикулярна боковой стороне. 

теперь надо постороить все прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды, апофемой и её проекцией на основание. угол между апофемой и её проецией - это и есть угол наклона грани, он одинаковый для всех граней.  поскольку это все прямоугольные треугольники с равным острым углом и общим катетом (высотой пирамиды) - они все равны между собой.

поэтому равны все апофемы, и (что гораздо важнее) - равны все проекции апофем на основание. это означает, что вершина пирамиды проектируется в точку, равноудаленную от сторон основания. то есть - в центр вписанной окружности.

  поскольку заданные двугранные уголы равены 45 градусов, то все эти треугольники равнобедренные, и высота просто равна радиусу вписанной в ромб окружности.

но радиус вписанной в ромб окружности равен половине высоты робма - имеется окружность, касающаяся 2 параллельных прямых. само собой, радиус равен половине расстояния между ними, то есть 3.

итак, высота пирамиды 3, площадь основания 10*6 = 60, значит объем пирамиды

v = (1/3)*3*60 = 60 куб.см