Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 40. определите острый угол между радиусом описанной окружности, проведенным в вершину прямого угла, и гипотенузой.

Пусть дан ΔАВС, ∠С=90°, ∠В=40°, О - центр опис. окр.

∠А = 90°-∠В = 90 - 40 = 50°
Против меньшего угла лежит меньшая сторона, значит АС<ВС и 
∠АОС < ∠СОВ, следовательно нужно найти градусную меру ∠АОС.

В прямоугольном треугольнике центр опис.окр. лежит на середине гипотенузы, значит, СО = АО (радиусы) ⇒ ΔАОС - равнобедренный.

В равнобедр. Δ углы при основании равны  ⇒ ∠АСО = ∠САО = 50°

∠АОС = 180-(∠АСО+∠САО) = 180 - 50*2 = 80° (сумма углов Δ = 180°)

ответ: 80°

радиус окружности описанной возле правильного треугольника находится по формуле : R=корень из 3 делить на три и умноженный на сторону треугольника

R=корень из 3 деленный на три умножаем на 4 корня из 6

R=корень из 288 деленного на 3

R=12 корней из 2 и все это делить на 3

R=4 корня из 2

 далее находим сторону квадрата вписанного в эту же окружности 

радиус окружности треугольника равен радиусу окружности квадрата

радиус квадрата равен R=корень из 2 деленный на 2 и все это умножить на сторону квадрата (t)

выражаем t из этой формулы получаем

t= R делить  на корень из 2 деленный на 2 

t=4корня из 2 делить на корень из 2 деленный на 2

t=8 см

ответ: 8 см.

13,75 см; 3,75 см

Объяснение:

Пусть из точки В проведены две наклонные : ВА=20 см и ВС =15 см ; опустим из точки В к плоскости перпендикуляр ВН .Соединим отрезками точки А и Н; точки С и Н.Получили два прямоугольных треугольника:

ΔАВН   и  ΔВСН ,  в которых катеты АН и СН - это проекции наклонных.

АН-СН=10

СН примем за х,тогда АН=10+х

По теореме Пифагора

ВН²=АВ²-АН²        и      ВН²=ВС²- СН²,значит

АВ²-АН² =ВС²- СН²

20²-(х+10)²=15²-х²

400-х²-20х-100=225-х²

-х²-20х+х²=225-300

-20х= -75

х= -75:(-20)

х=3,75 см   - СН

АН=3,75+10=13,75 см