1. диагонали параллелограмма abcd пересекаются в точке o. точки a1, b1, c1 и d1 являются серединами отрезков ао, во, со, do соответственно. докажите, что четырехугольник a1b1c1d1тоже параллелограмм (надо доказать через середину отрезков) 2. боковая сторона треугольника разделена на 4 равные части, и из точек деления проведены к другой бокой стороне отрезков, параллельных основанию треугольника. чему равны длины этих отрезков, если основание треугольника равно 8 см?

№1.

1) согласно условия: a1b1; b1c1; c1d1; a1d1 - соответственно являются средними линиями треугольников aob; boc; cod; aod

2) так как средние линии треугольников параллельны основаниям соответствующих треугольников, то a1b1||c1d1; b1c1||a1d1 - а это и означает, что a1b1c1d1 - параллелограмм.

 

№2.

1) последовательно: 8/2=4

4/2=2;

(8+4)/2=6

 

1-  сумма  углов   n-угольника равна 180° (n  − 2)2-параллелогра́мм   это  четырёхугольник , у которого противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых. частными случаями параллелограмма являются  прямоугольник,квадрат   и  ромб .   св-ва: противоположные стороны параллелограмма равны.противоположные углы параллелограмма равны.сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам.параллелограмм диагональю делится на два равновеликих треугольника.3-  трапеция   – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет. параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами. если боковые стороны  трапеции   равны, то она называется равнобедренной или равнобокой.4-  прямоугольник   —  параллелограмм , у которого все углы прямые (равны 90 градусам)св-ва: прямоугольник является  параллелограммом  — его противоположные стороны попарно параллельны.стороны прямоугольника являются его высотами.около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали).5-   ромб  — это  параллелограмм, у которого все стороны равны . ромб с  прямыми углами   называется  квадратом .св-ва: ромб является  параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно  параллельны.диагонали  ромба пересекаются под  прямым углом  и в точке пересечения делятся пополам. тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.диагонали ромба являются  биссектрисами  его углов .6-  квадрат   —  правильный  четырёхугольник , то есть четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны.св-ва: равенство длин сторон.все углы квадрата прямые.диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов.

Билет №1.1.фигуры на плоскости2  центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон. 3рассмотрим  δbao и  δocd ao=oc - по условию bo=od - по условию ∠aob=∠cod - вертикальные ⇒    δbao=δocd - по первому  признаку (2 стороны и угол между ними) билет №2.1.  фигура , образованная двумя  лучами   (сторонами   угла), выходящими из одной  точки   (которая называется  вершиной  угла)это угол равный 180..любой угол разделяет плоскость на 2 части. если угол неразвёрнутый, то одна из частей называется внутренней, а другая внешней областью этого угла. если угол развёрнутый, то любую из двух частей, на которые она разделяет плоскость можно считать внутренней областью угла.  фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, так же называют углом. от любой в заданную    полуплоскость  можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°,и только один.2.  диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.3.т. к.  сумма углов треугольника 180°,   значит третий угол 180-32-57=91°билет №3. 1.равносторонним  треугольником   называется  треугольник, у которого все его стороны равны.1) все  углы равностороннего треугольника  равны по 60º.2)  высота,  медиана  и  биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, ,3)точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей ).4) точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2: 1, считая от вершин.6) расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу  вписанной окружности.7) сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе. 8) радиус вписанной в правильный  треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности.2. если из какой-нибудь точки провести две касательные к окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны между собой и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного этими касательными.3.   возьмем отрезок ад за х, тогда оа = х+8:   х+х+8=24. 2х=16, х=8