Вравнобедренный прямоугольный треугольник вписана окружность радиусом r . найдите его катеты и гипотенузу

Пусть в равнобедренный прямоугольный треугольник abc с прямым углом c вписана окружность с центром o. обозначим точки касания окружности со сторонами ac,ab и bc за d,e,f соответственно. по свойству вписанной окружности, cd=cf, ad=ae, be=bf. заметим, что отрезок cd равен r, так как четырехугольник cdof - квадрат (в нём две соседние стороны равны r, а все четыре угла прямые). обозначим отрезок ad за x, тогда стороны треугольника равны r+x, r+x и 2x. мы знаем, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза в  √2 раз больше катета (это очевидно следует из теоремы пифагора), значит, имеет место равенство √2(r+x)=2x, откуда (2-√2)x=√2r, то есть x=√2/(2-√2)*r=1/(√2-1)*r=(√2+1)*r. значит, катет треугольника равен (√2+2)*r, а гипотенуза равна 2*(√2+1)*r.

углы ромба    можно найти из формулы его  площади.

s=a²*sin  α, где а- стороны ромба,   α - угол между ними     

sin  α=s: a² 

  площадь ромба авсд равна   удвоенной площади   его половины-∆ авд.

полупериметр авсд= p=(9+9+3): 2=10,5

площадь 2-х ∆ авд по ф. герона:

  s=2*√(10,5*1,5*1,5*3)=4,5√35

sin  ∠вад=(4,5√35): 9²=0,3286, 

что по т. брадиса соответствует углу 19º11’

сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180º, 

следовательно, второй   угол равен 180º-19º11’=160º49'

Если диагональ равна 60 см, то точкой пересечения с другой диагональю она делится пополам. рассмотрим один из четырех треугольников, что получились при пересечении двух диагоналей. в нем гипотенуза равна 50 см, один катет равен 30 см (60: 2=30). это египетский треугольник, тогда другой катет равен 40 см. тогда вся вторая диагональ равна 40*2=80 см. площадь ромба равна умножению диагоналей, деленной пополам. площадь равна (60*80)/2=2400 (см²). с другой стороны площадь ромба равна 2*а*r, где а - сторона ромба, r - радиус вписанной окружности. площадь у нас уже есть (искали выше), сила сторона есть, а радиус как раз сейчас найдем. радиус равен площадь деленной на 2а. радиус=2400/2*50=2400/100=24 (см)