Дано куб abcda1b1c1d1 з ребром а=5 а(0; 0; 0) в(-а; 0; 0) d(0; a; 0) a1(0; 0; a)а) знайти координати вектора вс1б) довести що вектори bd i d1b1 колінеарнів) довести перпендикулярність векторів d1a i a1b1 !

Пусть имеем правильную  пирамиду авсs, проведём  осевое сечение через ребро  вs.получим треугольник двs, высота  sо = н в нём является высотой пирамиды, сторона  sд - это апофема грани  асs.из  середины  sо (пусть это точка м) проведём перпендикуляры на  sд и  sв.это будут заданные расстояния ме = 2 и мк =  √10. по свойству высоты вд = h равностороннего треугольника авс она делится точкой о на части од = (1/3)h и ов = (2/3) h.обозначим половину высоты н за х, сторону основания за а.определим sk =  √(x²-10), se =  √(x²-4). tgдso = 2/√(x²-4),   tgвso =  √10/√(х²-10) .выразим: ов = 2х*tgвso = 2√10*х/√(х²-10),                 од = 2х*tgдso  = 4х/√(х²-4) а так как ов = 2од, составим уравнение:   2√10*х/√(х²-10) = 2* 4х/√(х²-4).после сокращения на 2х и возведения в квадрат обеих частей уравнения, получаем: 10/(х²-10) = 16/(х²-4). раскроем скобки и выразим относительно х: 10х²-40 = 16х²-160, 6х² = 120, х² = 120/6 = 20, отсюда х =  √20 =    2√5, высота пирамиды н = 2х = 4√5. находим значения тангенсов углов: tgдso = 2/(√20-4) = 2/4 = 1/2,  tgвso =  √10/(√20-10) =  √10/√10 = 1. высота h = вд =во + од = н*tgвso + н*tgд so ==  4√5*(1/2) +  4√5*1 = 2√5 +  4√5 =  6√5. теперь находим сторону основания: а = h/cos30° = 6√5/(√3/2) = 12√5/√3 = 4√15. площадь авс как равностороннего треугольника равна so = a²√3/4 = = 16*15√3/4 = 4*15√3 = 60√3. объём пирамиды v = (1/3)soh = (1/3)*60√3*4√5 = 80√15  ≈      309,8387  куб.ед.

Дано: ∆ abc, ac=bc, cf — биссектриса. доказать:   cf — медиана и высота. доказательство: рассмотрим треугольники acf и bcf. 1) ac=bc (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника)) 2)  ∠acf=∠bcf (так как cf —  биссектриса  по условию). 3) сторона cf — общая. значит, ∆ acf=∆ bcf (по двум сторонам и углу между ними). из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов. таким образом, af=bf, следовательно, cf —  медиана. ∠afc=∠bfc. а так как эти углы — смежные, значит, они прямые:   ∠afc=∠bfc=90º. значит, cf —  высота. что и требовалось доказать.