Впрямоугольном треугольнике вписана окружность, точка касания лежащие на гипотенузе делит её на отрезки равные 4 и 6 см, найдите площадь данного треугольника.

Свойство касательной к окружности: если из одной точки к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных равны. поэтому отрезок равный 6 можно отметить и на катете. на другом катете есть отрезок, равный 4. а так же на каждом катете есть отрезки, равные r- радусу, вписанной окружности. теперь теорема пифагора (6+r)² + (4+r)²=(6+4)² найдем r 36+12r+r²+16+8r+r²=100 2r²+20r-48=0 r²+10r-24=0 корни -12 и 2. подходит только 2 ответ катет 6+2=8 и второй катет 4+2=6 площадь равна половине произведения катетов 24 см кв

Пусть 1/2(∠а)=в, тогда  ∠адв=∠асд+в-внешний угол треугольникаасд ∠в=90-2в(сумма острых углов прям тр-ка авс равна 90 по теореме синусов (для тр-каадв) ав/sin(∠adb)=ad/sinb a/sin(90+b)=(a/√3)/sin(90-2b) a/cosb=a/(√3 cos2b); b-бэтта √3acos2b=acosb     : a √3cos2b=cosb √3(2cos^2 b-1)-cosb=0 2√3cos^2 b-cosb-√3=0 cosb=x; 2√3x^2-x-√3=0               d=1+8*(√3)^2=1+24=25=5^2; x=(1+-5)/(4√3)               x=6/4 )/√3=(3√3)/(2*√3*√3)=√3/2               x=-4/(4√3)=-1/√3-посторонний, угол острый и cosb> 0 cosb=√3/2; b=30grad тогда  ∠а=2*30=60град;   ∠в=90-60=30град катет ас против угла в 30 градусов, ас=1/2ав; ас=а/2 bc^2=a^2-(a/2)^2(по теореме пифагора из тр. авс) вс=√(a^2-a^2/4)=a√3/2 ответ а/2; а√3/2

Окружность можно вписать в трапецию, если сумма боковых сторон равна сумме оснований. то есть ad+bc=ab+cd=16 см. если обозначить ad=a,bc=b, ab=c, cd=d, ac=d1, то d1=√((d²+ab-a(d²-c²)/(a- так как bc=16-ad=16-a, ab=7, cd=9, ac=9, то из формулы для d1 получаем уравнение для определения a: 9=√((9²+a(16-a)-a(9²-7²)/(2a-16). возводя обе части в квадрат, получаем 81=81+16a-a²-32a/(2a-16),или  16a-a²-16a/(a-8)=0. так как a≠0, то на a можно сократить: 16-a-16/(a-8)=0. умножая на (a-8), приходим к уравнению 16a-128-a²+8a-16=-a²+24a-144=0, или a²-24a+144=(a-12)²=0. отсюда a=ad=12 и b=bc=16-12=4. диагональ трапеции d1 выражается через её высоту h формулой d1=√((a²+d²-2a*√(d²-h² возводя обе части в квадрат и подставляя известные значения, получаем уравнение 81=144+81-24*√(81-h²), или 144-24*√(81-h²)=0. отсюда  √(81-h²)=6, 81-h²=36, откуда h²=45 и h=3*√5. тогда радиус вписанной окружности r=h/2=3*√5/2. ответ: ad=12, bc=4, r=3*√5/2